Cho hình chóp (S.ABCD ) có đáy là hình vuông cạnh (a ) và (SA bot left( {ABCD} right) ). Biết góc giữa (SC ) và mặt phẳng ( left( {ABCD} right) ) là (60^ circ ). Tính góc phẳng nhị
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
Gọi \(O\) là giao điểm \(AC\) và \(BD\).
Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(AC \bot BD\) mà \(SA \bot BD\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\) nên \(BD \bot \left( {SAC} \right)\)\( \Rightarrow BD \bot SO\).
Lại có \(CO \bot BD\), suy ra \(\widehat {SOC}\) là góc phẳng nhị diện \(\left[ {S,BD,C} \right]\).
Có \(AC = a\sqrt 2 \Rightarrow OC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\), \(\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SC,AC} \right) = \widehat {SCA} = 60^\circ \).
Xét \(\Delta SAC\) có \(SC = \frac{{AC}}{{\cos \widehat {SCA}}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{\cos 60^\circ }} = 2a\sqrt 2 \), \(SA = AC\tan \widehat {SCA} = a\sqrt 2 .\tan 60^\circ = a\sqrt 6 \).
Xét \(\Delta SAO\) có \(SO = \sqrt {S{A^2} + A{O^2}} = \sqrt {6{a^2} + \frac{{{a^2}}}{2}} = \frac{{a\sqrt {26} }}{2}\).
Xét \(\Delta SOC\) có \(\cos \widehat {SOC} = \frac{{S{O^2} + O{C^2} - S{C^2}}}{{2.SO.OC}} = \frac{{\frac{{{a^2}.26}}{4} + \frac{{2{a^2}}}{4} - 8{a^2}}}{{2.\frac{{a\sqrt {26} }}{2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{{ - 1}}{{\sqrt {13} }}\)\( \Rightarrow \widehat {SOC} \approx 106^\circ \).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập