Câu hỏi:

12/01/2025 338

Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\), \(AB = 2a\). Góc giữa đường thẳng \(BC'\) và mặt phẳng \(\left( {ACC'A'} \right)\) bằng \(30^\circ \). Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Đáp án đúng là: D

Cho khối lăng trụ đứng  A B C . A ′ B ′ C ′  có đáy  A B C  là tam giác vuông cân tại  A ,  A B = 2 a . Góc giữa đường thẳng  B C ′  và mặt phẳng  ( A C C ′ A ′ )  bằng  30 ∘ . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng (ảnh 1)

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB \bot AC}\\{AB \bot AA'}\end{array} \Rightarrow AB \bot \left( {ACC'A'} \right) \Rightarrow AB \bot AC'} \right.\).

Vậy góc giữa đường thẳng \(BC'\) và mặt phẳng \(\left( {ACC'A'} \right)\) là góc \(\widehat {BC'A}\).

Trong tam giác vuông \(BC'A\) ta có \(\widehat {BC'A} = 30^\circ ;AB = 2a \Rightarrow AC' = AB \cdot {\rm{cot}}\widehat {BC'A} = 2a \cdot \sqrt 3 \).

Trong tam giác vuông \(ACC'\) ta có \(CC' = \sqrt {A{{C'}^2} - A{C^2}} = 2\sqrt 2 a\).

Vậy thể tích khối lăng trụ đã cho là:

\(V = CC' \cdot \frac{1}{2}A{B^2} = 2\sqrt 2 a \cdot \frac{1}{2} \cdot 4{a^2} = 4\sqrt 2 {a^3}.\)

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Hướng dẫn giải

Trả lời: 0,84

Cho hình chóp  S . A B C D  có đáy  A B C D  là hình chữ nhật,  A B = 1 , A D = 2 √ 3 . Cạnh bên  S A  vuông góc với đáy, biết tam giác  S A D  có diện tích  S = 3 . Tính khoảng cách từ  C  đến  ( S B D ) . (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). (ảnh 1)

Do \({S_{SAD}} = 3 = \frac{1}{2}SA.AD \Rightarrow SA = \frac{6}{{2\sqrt 3 }} = \sqrt 3 \).

Mặt khác ta có \(d\left( {C,\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right)\).

Kẻ \(AH \bot BD,AK \bot SH\) tại \(K\). Suy ra \(d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right) = AK\).

Ta có \(BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \sqrt {13} \Rightarrow AH = \frac{{AB.AD}}{{BD}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{{\sqrt {13} }} = \frac{{2\sqrt {39} }}{{13}}\).

\( \Rightarrow AK = \frac{{SA.AH}}{{\sqrt {S{A^2} + A{H^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 .\frac{{2\sqrt {39} }}{{13}}}}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {\frac{{2\sqrt {39} }}{{13}}} \right)}^2}} }} = \frac{{2\sqrt {51} }}{{17}}\).

Vậy \(d\left( {C,\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right) = \frac{{2\sqrt {51} }}{{17}} \approx 0,84\).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP