Rút gọn \[{\rm{S}} = 1 + {\cos ^2}{\rm{x}} + {\cos ^4}{\rm{x}} + {\cos ^6}{\rm{x}} + .... + {\cos ^{2{\rm{n}}}}{\rm{x}} + ...\]với\[\cos {\rm{x}} \ne \pm 1\]

Giá trị của giới hạn \[\lim \left( {\sqrt {{{\rm{n}}^2} - 1} - \sqrt {3{{\rm{n}}^2} + 2} } \right)\]bằng

Cho dãy số (un) với \[{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}\sqrt {{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + an + 5}}} - \sqrt {{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 1}}} \], trong đó a là tham số thực. Tìm a để \[\lim {{\rm{u}}_{\rm{n}}} = - 1\]

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thuộc khoảng (−10; 10) để 

\[{\rm{L}} = \lim \left( {{\rm{5n}} - 3\left( {{{\rm{a}}^2} - 2} \right){{\rm{n}}^3}} \right) = - \infty \]

Giá trị của giới hạn \[{\rm{lim}}\frac{{{{\rm{1}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{2}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}...{\rm{ + }}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}}}{{{\rm{n}}\left( {{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 1}}} \right)}}\] bằng:

Kết quả của giới hạn\[\lim \frac{{3\sin {\rm{n}} + 4\cos {\rm{n}}}}{{{\rm{n}} + 1}}\]bằng:

Cho dãy số (u_n) với \[{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{4}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + n + 2}}}}{{{\rm{a}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 5}}}}\]trong đó a là tham số thực. Để dãy số có giới hạn bằng 2, giá trị của a là

Kết quả của giới hạn \[\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{} \left( {\frac{{{\rm{sin5n}}}}{{{\rm{3n}}}} - {\rm{2}}} \right)\] bằng: