Với \(n \in {\mathbb{N}^*}\), hãy tính tổng \(B = \frac{1}{{1.5}} + \frac{1}{{5.9}} + ... + \frac{1}{{\left( {4n - 3} \right)\left( {4n + 1} \right)}}\).

Một tổ sản xuất dự định làm một số sản phẩm trong một thời gian nhất định. Tổ dự định mỗi ngày làm \(120\) sản phẩm. Khi thực hiện, mỗi ngày tổ làm được \(150\) sản phẩm. vì vậy tổ đã làm xong trước thời gian dự định là \(4\) ngày và còn làm thêm được \(10\) sản phẩm. Tính số sản phẩm mà tổ đã dự định làm.

Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) có \(AB = AC = 17{\rm{ cm}}\). Kẻ \(BD \bot AC\). Tính độ dài cạnh \(BC\) biết \(BD = 15{\rm{ cm}}.\)

Một ca nô xuôi dòng từ \(A\) đến \(B\) hết \(\frac{4}{3}\) giờ và ngược dòng hết 2 giờ. Biết vận tốc dòng nước là \(3{\rm{ km/h}}\). Gọi vận tốc riêng của ca nô là \(x\) (\(x > 3\), km/h).

 a) Vận tốc ca nô xuôi dòng là \(x - 3\) (km/h), vận tốc ca nô ngược dòng là \(x + 3\) (km/h).

 b) Quãng đường ca nô xuôi dòng là \(2\left( {x - 3} \right)\) (km) và quãng đường ca nô ngược dòng là \(\frac{4}{3}\left( {x + 3} \right)\)

            (km).

 c) Phương trình mô tả bài toán trên là \(\frac{4}{3}\left( {x + 3} \right) = 2\left( {x - 3} \right)\).

 d) Vận tốc riêng của ca nô là \(15{\rm{ km/h}}\).

Cho \(\Delta ABC\) vuông ở \(A\), \(AB = 5,4{\rm{ cm}}\), \(AC = 7,2{\rm{ cm}}\).

a) Tính \(BC\).

b) Từ trung điểm \(M\) của \(BC\), vẽ đường thẳng vuông góc với \(BC\), cắt đường thẳng \(AC\) tại \(H\) và cắt đường thẳng \(AB\) tại \(E\). Chứng minh rằng .

c) Tính độ dài \(EB,EM\). Chứng minh \(HA.HC = HM.HE\).

Cho \(\Delta ABC\) có \(AB = 4{\rm{ cm;}}\)\(BC = 8{\rm{ cm;}}\) \(AC = 6{\rm{ cm}}\). Một đường thẳng song song với \(BC\) cắt \(AB\) và \(AC\) theo thứ tự \(M,N\) sao cho \(BM = AN\).

 a) \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{MN}}{{BC}}\).

 b)

 c) \(AN = 2,4{\rm{ cm}}\), \(MN = 3,2{\rm{ cm}}\).

 d) \(\frac{{{S_{ANM}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{4}{{25}}\).