Cho \(\Delta ABC\) có \(AD\) là trung tuyến, trọng tâm \(G\), đường thẳng đi qua \(G\) cắt các cạnh \(AB,\) \(AC\) lần lượt tại \(E,F\). Từ \(B,C\) kẻ các đường song song với \(EF\) cắt \(AD\) lần lượt tại \(M,N\).

a) \(\frac{{BE}}{{AE}} = \frac{{MG}}{{AG}}\).

b) \(\frac{{DN}}{{MD}} = \frac{{DB}}{{DC}}\).

c) \(\frac{{BE}}{{AE}} + \frac{{CF}}{{AF}} = 1\).

d) \(\frac{{AB}}{{AE}} + \frac{{CA}}{{AF}} = 3\).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án đúng là: a) Đ b) S c) Đ d) Đ

Cho tam giác ABC có AD là trung tuyến, trọng tâm G , đường thẳng đi qua (ảnh 1)

a) Xét \(\Delta ABC\) có \(EG\parallel BM\), theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{BE}}{{AE}} = \frac{{MG}}{{AG}}\).

b) Xét \(\Delta DCN\) có \(BM\parallel CN\), theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{DN}}{{MD}} = \frac{{DC}}{{DB}}\).

c) Có \(D\) là trung điểm của \(BC\) (do \(AD\) là trung tuyến của tam giác) nên \(DB = DC\).

Do đó, \(\frac{{DN}}{{MD}} = \frac{{DC}}{{DB}} = 1\) nên \(DM = DN\).

Suy ra \(GM + GN = GM + GM + MN = 2GM + 2MD = 2GD\).

Lại có \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\) nên \(AG = 2GD\).

Xét \(\Delta ACN\) có \(FG\parallel CN\), theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{CF}}{{AF}} = \frac{{GN}}{{AG}}\).

Suy ra \(\frac{{BE}}{{AE}} + \frac{{CF}}{{AF}} = \frac{{MG}}{{AG}} + \frac{{GN}}{{AG}} = \frac{{GM + GN}}{{AG}} = \frac{{2GD}}{{2GD}} = 1\).

Do đó, \(\frac{{BE}}{{AE}} + \frac{{CF}}{{AF}} = 1\).

d) Xét \(\Delta ABC\) có \(EG\parallel BM\), theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{AB}}{{AE}} = \frac{{AM}}{{AG}}\).

Xét \(\Delta ACN\) có , theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{AC}}{{AF}} = \frac{{AN}}{{AG}}\).

Suy ra \(\frac{{AB}}{{AE}} + \frac{{AC}}{{AF}} = \frac{{AM}}{{AG}} + \frac{{AN}}{{AG}} = \frac{{AM + AN}}{{AG}} = \frac{{AG + GM + AG + GM + MN}}{{AG}}\)

\( = \frac{{2AG + 2GM + 2MD}}{{AG}} = \frac{{2AG + 2\left( {GM + MD} \right)}}{{AG}} = \frac{{2AG + 2GD}}{{AG}} = \frac{{2AG + 2.\frac{1}{2}AG}}{{AG}} = \frac{{3AG}}{{AG}} = 3\).

Vậy \(\frac{{AB}}{{AE}} + \frac{{CA}}{{AF}} = 3\).

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »