Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), biết \(AB = 21{\rm{ cm,}}\) \(AC = 28{\rm{ cm}}\), phân giác \(AD\) với \(D \in BC\).

a) Tính độ dài \(BC,BD,DC\).

b) Gọi \(E\) là hình chiếu của \(D\) trên \(AC\). Tính độ dài \(DE\) và \(EC\).

C) Gọi \(I\) là giao điểm của đường phân giác và \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Chứng minh rằng \(IG\parallel AC.\)

a) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác \(ABC\), ta có:

\(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)

\({21^2} + {28^2} = B{C^2}\)

\(B{C^2} = 1225\) nên \(BC = 35{\rm{ cm}}\).

Xét \(\Delta ABC\) có \(AD\) là tia phân giác của góc \(BAC\) nên \(\frac{{DB}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{AC}}\).

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{{DB}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{AC}} = \frac{{DA + DC}}{{AB + AC}} = \frac{{BC}}{{AB + AC}} = \frac{{35}}{{21 + 28}} = \frac{5}{7}\).

Suy ra \(DB = \frac{5}{7}.AB = \frac{5}{7}.21 = 15{\rm{ cm}}\) và \(DC = \frac{5}{7}.AC = \frac{5}{7}.28 = 20{\rm{ cm}}\).

b) Vì \(E\) là hình chiếu của \(D\) trên \(AC\) nên \(DE \bot AC\).

Mà \(BA \bot AC\) (do \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)).

Do đó \(DE\parallel AB\).

Xét \(\Delta ABC\) có \(DE\parallel AB\) nên \(\frac{{EC}}{{AC}} = \frac{{DE}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{BC}} = \frac{{20}}{{35}} = \frac{4}{7}\) (Hệ quả định lí Thalès)

Do đó, \(DE = \frac{4}{7}AB = \frac{4}{7}.21 = 12{\rm{ cm}}\) và \(EC = \frac{4}{7}AC = \frac{4}{7}.28 = 16{\rm{ cm}}\).

c) Gọi \(F\) là giao điểm của \(BI\) với \(AC\).

Vì \(I\) là giao điểm của ba đường phân giác nên \(BF\) là đường phân giác góc \(\widehat {ABC}\).

Do đó, \(\frac{{FA}}{{FC}} = \frac{{BA}}{{BC}} = \frac{{21}}{{35}} = \frac{3}{5}\).

Suy ra \(FA = \frac{3}{5}FC = \frac{3}{8}AC = \frac{{21}}{2}{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Có \(AI\) là đường phân giác của tam giác \(ABF\) nên có \(\frac{{BI}}{{FI}} = \frac{{AB}}{{AF}} = \frac{{21}}{{\frac{{21}}{2}}} = 2\) (1)

Gọi \(GB\) cắt \(AC\) tại \(M\).

Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(BM\) là đường trung tuyến, do đó \(\frac{{GB}}{{GM}} = 2\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{GB}}{{GM}} = \frac{{IB}}{{IF}}\) suy ra \(IG\parallel FM\) hay \(IG\parallel AC\) (Theo định lí Thalès đảo).