Cho hai hàm số \(\left( {{d_1}} \right)y = - x + 1\) và \(\left( {{d_2}} \right):y = x + 3\).

a) Hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) cắt nhau tại \(C\) và cắt trục \(Ox\) theo thứ tự tại \(A,B.\) Hãy tìm tọa độ các điểm \(A,B,C\).

b) Xác định đường thẳng \(\left( {{d_3}} \right)\) đi qua điểm \(B\left( {3;0} \right)\) và song song với đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)y = - x + 1\).

Ta có: \(\frac{{x - 2}}{7} + \frac{{x - 1}}{8} = \frac{{x - 4}}{5} + \frac{{x - 3}}{6}\)

\(\frac{{x - 2}}{7} - 1 + \frac{{x - 1}}{8} - 1 = \frac{{x - 4}}{5} - 1 + \frac{{x - 3}}{6} - 1\)

\(\frac{{x - 9}}{7} + \frac{{x - 9}}{8} = \frac{{x - 9}}{5} + \frac{{x - 9}}{6}\)

\(\frac{{x - 9}}{7} + \frac{{x - 9}}{8} - \frac{{x - 9}}{5} - \frac{{x - 9}}{6} = 0\)

\(\left( {x - 9} \right)\left( {\frac{1}{7} + \frac{1}{8} - \frac{1}{5} - \frac{1}{6}} \right) = 0\)

Nhận thấy \(\left( {\frac{1}{7} + \frac{1}{8} - \frac{1}{5} - \frac{1}{6}} \right) \ne 0\) nên \(x - 9 = 0\) hay \(x = 9\).

Vậy \(x = 9.\)

Hướng dẫn giải

a) Xét \(\Delta ABC\) có \(BD\) là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\) nên \(\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{DA}}{{DC}}\) (tính chất đường phân giác) .

Do đó, \(\frac{{DC}}{{BC}} = \frac{{DA}}{{BA}}\).

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{{DC}}{{BC}} = \frac{{DA}}{{BA}} = \frac{{DC + DA}}{{BC + BA}} = \frac{{AC}}{{BC + AB}} = \frac{5}{{6 + 4}} = \frac{1}{2}\).

Do đó, \(AD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}.4 = 2{\rm{ cm}}\), \(CD = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}.6 = 3{\rm{ cm}}\).

b) Xét \(\Delta BCD\) có \(CI\) là phân giác của \(\widehat {DCB}\) nên \(\frac{{DI}}{{BI}} = \frac{{DC}}{{BC}} = \frac{1}{2}\) (tính chất đường phân giác).

Suy ra \(\frac{{DI}}{{BI + DI}} = \frac{1}{{2 + 1}}\) hay \(\frac{{DI}}{{DB}} = \frac{1}{3}\).

Lại có \(CE\) là phân giác của \(\widehat {ACB}\) nên \(\frac{{BE}}{{EA}} = \frac{{BC}}{{AC}} = \frac{6}{5}\), suy ra \(\frac{{BE}}{{BA}} = \frac{6}{{11}}\).

Có \(BD\) là tia phân giác của \(\widehat {CBA}\) nên \(\frac{{AD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{6}{5}\), suy ra \(\frac{{AD}}{{AC}} = \frac{2}{5}\).

c) Gọi \({h_1},{h_2},{h_3}\) lần lượt là độ dài đường cao kẻ từ \(E\) đến \(BD\), độ dài đường cao kẻ từ \(D\) đến \(AB\), độ dài đường cao kẻ từ \(B\) đến \(AC\).

Ta có: \({S_{DIE}} = \frac{1}{2}{h_1}.DI;\)\({S_{DEB}} = \frac{1}{2}{h_1}.DB = \frac{1}{2}{h_2}.BE\) ;

          \({S_{ABD}} = \frac{1}{2}{h_2}.AB = \frac{1}{2}{h_3}.AD\); \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}{h_3}.AC\).

Do đó, \(\frac{{{S_{DIE}}}}{{{S_{BDE}}}} = \frac{{{h_1}.DI}}{{{h_1}.BD}} = \frac{{DI}}{{DB}} = \frac{1}{3}\); \(\frac{{{S_{DEB}}}}{{{S_{BDA}}}} = \frac{{{h_2}.BE}}{{{h_2}.AB}} = \frac{{BE}}{{AB}} = \frac{6}{{11}}\); \(\frac{{{S_{DBA}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{{h_3}.AD}}{{{h_3}.AC}} = \frac{{AD}}{{AC}} = \frac{2}{5}\).

Khi đó, \({S_{DIE}} = \frac{1}{3}{S_{BDE}} = \frac{1}{3}.\frac{6}{{11}}{S_{ABD}} = \frac{1}{3}.\frac{6}{{11}}.\frac{2}{5}{S_{ABC}} = \frac{4}{{55}}{S_{ABC}}\).

Suy ra \(\frac{{{S_{DEI}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{4}{{55}}\).