Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 4{\rm{ cm,}}\) \(AC = 5{\rm{ cm,}}\) \(BC = 6{\rm{ cm}}\). Các đường phân giác \(BD\) và \(CE\) cắt nhau tại \(I\).

a) Tính \(AD,DC.\)

b) Tính các tỉ số \(\frac{{DI}}{{DB}};\frac{{BE}}{{BA}};\frac{{AD}}{{AC}}\).

c) Tính tỉ số diện tích các tam giác \(DIE\) và \(ABC\).

Hướng dẫn giải

a) Xét \(\Delta ABC\) có \(BD\) là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\) nên \(\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{DA}}{{DC}}\) (tính chất đường phân giác) .

Do đó, \(\frac{{DC}}{{BC}} = \frac{{DA}}{{BA}}\).

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{{DC}}{{BC}} = \frac{{DA}}{{BA}} = \frac{{DC + DA}}{{BC + BA}} = \frac{{AC}}{{BC + AB}} = \frac{5}{{6 + 4}} = \frac{1}{2}\).

Do đó, \(AD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}.4 = 2{\rm{ cm}}\), \(CD = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}.6 = 3{\rm{ cm}}\).

b) Xét \(\Delta BCD\) có \(CI\) là phân giác của \(\widehat {DCB}\) nên \(\frac{{DI}}{{BI}} = \frac{{DC}}{{BC}} = \frac{1}{2}\) (tính chất đường phân giác).

Suy ra \(\frac{{DI}}{{BI + DI}} = \frac{1}{{2 + 1}}\) hay \(\frac{{DI}}{{DB}} = \frac{1}{3}\).

Lại có \(CE\) là phân giác của \(\widehat {ACB}\) nên \(\frac{{BE}}{{EA}} = \frac{{BC}}{{AC}} = \frac{6}{5}\), suy ra \(\frac{{BE}}{{BA}} = \frac{6}{{11}}\).

Có \(BD\) là tia phân giác của \(\widehat {CBA}\) nên \(\frac{{AD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{6}{5}\), suy ra \(\frac{{AD}}{{AC}} = \frac{2}{5}\).

c) Gọi \({h_1},{h_2},{h_3}\) lần lượt là độ dài đường cao kẻ từ \(E\) đến \(BD\), độ dài đường cao kẻ từ \(D\) đến \(AB\), độ dài đường cao kẻ từ \(B\) đến \(AC\).

Ta có: \({S_{DIE}} = \frac{1}{2}{h_1}.DI;\)\({S_{DEB}} = \frac{1}{2}{h_1}.DB = \frac{1}{2}{h_2}.BE\) ;

          \({S_{ABD}} = \frac{1}{2}{h_2}.AB = \frac{1}{2}{h_3}.AD\); \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}{h_3}.AC\).

Do đó, \(\frac{{{S_{DIE}}}}{{{S_{BDE}}}} = \frac{{{h_1}.DI}}{{{h_1}.BD}} = \frac{{DI}}{{DB}} = \frac{1}{3}\); \(\frac{{{S_{DEB}}}}{{{S_{BDA}}}} = \frac{{{h_2}.BE}}{{{h_2}.AB}} = \frac{{BE}}{{AB}} = \frac{6}{{11}}\); \(\frac{{{S_{DBA}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{{h_3}.AD}}{{{h_3}.AC}} = \frac{{AD}}{{AC}} = \frac{2}{5}\).

Khi đó, \({S_{DIE}} = \frac{1}{3}{S_{BDE}} = \frac{1}{3}.\frac{6}{{11}}{S_{ABD}} = \frac{1}{3}.\frac{6}{{11}}.\frac{2}{5}{S_{ABC}} = \frac{4}{{55}}{S_{ABC}}\).

Suy ra \(\frac{{{S_{DEI}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{4}{{55}}\).