Câu hỏi:
16/02/2025 1,038
Cho \(\Delta ABC\) có \(AD\) là trung tuyến, trọng tâm \(G,\) đường thẳng đi qua \(G\) cắt các cạnh \(AB,\,\,AC\) lần l\(B,\,\,C\)ượt tại \(E,\,\,F.\) Từ kẻ các đường song song với \(EF\) cắt \(AD\) lần lượt tại \(M,\,\,N.\) Chứng minh rằng:
a) \(\frac{{BE}}{{AE}} = \frac{{MG}}{{AG}}.\) b) \(\frac{{BE}}{{AE}} + \frac{{CF}}{{AF}} = 1.\) c) \(\frac{{AB}}{{AE}} + \frac{{AC}}{{AF}} = 3.\)
Cho \(\Delta ABC\) có \(AD\) là trung tuyến, trọng tâm \(G,\) đường thẳng đi qua \(G\) cắt các cạnh \(AB,\,\,AC\) lần l\(B,\,\,C\)ượt tại \(E,\,\,F.\) Từ kẻ các đường song song với \(EF\) cắt \(AD\) lần lượt tại \(M,\,\,N.\) Chứng minh rằng:
a) \(\frac{{BE}}{{AE}} = \frac{{MG}}{{AG}}.\) b) \(\frac{{BE}}{{AE}} + \frac{{CF}}{{AF}} = 1.\) c) \(\frac{{AB}}{{AE}} + \frac{{AC}}{{AF}} = 3.\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
|
a) Xét \(\Delta ABM\) có \(EG\,{\rm{//}}\,BM,\) theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{BE}}{{AE}} = \frac{{MG}}{{AG}}.\) b) Xét \(\Delta DCN\) có \(BM\,{\rm{//}}\,CN,\) theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{DN}}{{MD}} = \frac{{DC}}{{DB}}.\) Mà \(D\) là trung điểm của \(BC\) (do \(AD\) là trung tuyến của tam giác) nên \(DC = DB.\) Do đó \(\frac{{DN}}{{MD}} = \frac{{DC}}{{DB}} = 1,\) nên \(DM = DN.\) |
 |
Suy ra \(GM + GN = GM + GM + MN = 2GM + 2MD = 2GD.\)
Lại có \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\) nên \(AG = 2GD.\)
Xét \(\Delta ACN\) có \(FG\,{\rm{//}}\,CN,\) theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{CF}}{{AF}} = \frac{{GN}}{{AG}}.\)
Suy ra \(\frac{{BE}}{{AE}} + \frac{{CF}}{{AF}} = \frac{{MG}}{{AG}} + \frac{{GN}}{{AG}} = \frac{{GM + GN}}{{AG}} = \frac{{2GD}}{{2GD}} = 1.\)
c) Xét \(\Delta ABM\) có \(EG\,{\rm{//}}\,BM,\) theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{AB}}{{AE}} = \frac{{AM}}{{AG}}.\)
Xét \(\Delta ACN\) có \[FG\,{\rm{//}}\,CN,\] theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{AC}}{{AF}} = \frac{{AN}}{{AG}}.\)
Suy ra \(\frac{{AB}}{{AE}} + \frac{{AC}}{{AF}} = \frac{{AM}}{{AG}} + \frac{{AN}}{{AG}}\)\( = \frac{{AG + GM + AG + GM + MN}}{{AG}}\)
\( = \frac{{2AG + 2GM + 2MD}}{{AG}}\)\( = \frac{{2AG + 2\left( {GM + MD} \right)}}{{AG}} = \frac{{2AG + 2GD}}{{AG}}\)
\( = \frac{{2AG + 2 \cdot \frac{1}{2}AG}}{{AG}} = \frac{{3AG}}{{AG}} = 3.\)
Vậy \(\frac{{AB}}{{AE}} + \frac{{AC}}{{AF}} = 3.\)
Nhà sách vietjack
Hot: Đề thi cuối kì 2 Toán, Văn, Anh.... file word có đáp án chi tiết lớp 1-12 form 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Lúc 6 giờ sáng, bạn Hải đi xe đạp từ điểm \[A\] đến trường (tại điểm \(B)\) phải leo lên và xuống một con dốc với đỉnh dốc tại điểm \[C\] (như hình vẽ).
![Lúc 6 giờ sáng, bạn Hải đi xe đạp từ điểm \[A\] đến trường (tại điểm \(B)\) phải leo lên và xuống một con (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/02/blobid36-1739679343.png)
Điểm \(H\) là một điểm thuộc đoạn thẳng \[AB\] sao cho \[CH\] đường là phân giác \(\widehat {ACB},\) \[AH = 0,32{\rm{\;km}}\] và \[BH = 0,4{\rm{\;km}}.\] Biết bạn Hải đi xe đạp đến \[C\] lúc 6 giờ 30 phút với tốc độ trung bình lên dốc là 4 km/h. Hỏi bạn Hải đến trường lúc mấy giờ nếu tốc độ trung bình xuống dốc là \[10{\rm{ km/h}}\,{\rm{?}}\]
Lúc 6 giờ sáng, bạn Hải đi xe đạp từ điểm \[A\] đến trường (tại điểm \(B)\) phải leo lên và xuống một con dốc với đỉnh dốc tại điểm \[C\] (như hình vẽ).
Xem đáp án »
16/02/2025
390
Câu 2:
Nhà may \(A\) sản xuất một lô áo gồm 200 chiếc áo với giá vốn là \[30\,\,000\,\,000\] đồng và giá bán một chiếc áo là \[300\,\,000\] đồng. Khi đó gọi \(K\) (đồng) là số tiền lời (hoặc lỗ) củ nhà may thu được khi bán \(t\) chiếc áo.
a) Viết hàm số biểu diễn số tiền lời (hoặc lỗ) \(K\) của nhà may thu được khi bán \(t\) chiếc áo. Hỏi nhà may cần phải bán bao nhiêu chiếc áo mới có thể thu hồi được vốn ban đầu?
b) Để lời được \[6\,\,000\,\,000\] đồng thì nhà may cần phải bán bao nhiêu chiếc áo?
Nhà may \(A\) sản xuất một lô áo gồm 200 chiếc áo với giá vốn là \[30\,\,000\,\,000\] đồng và giá bán một chiếc áo là \[300\,\,000\] đồng. Khi đó gọi \(K\) (đồng) là số tiền lời (hoặc lỗ) củ nhà may thu được khi bán \(t\) chiếc áo.
a) Viết hàm số biểu diễn số tiền lời (hoặc lỗ) \(K\) của nhà may thu được khi bán \(t\) chiếc áo. Hỏi nhà may cần phải bán bao nhiêu chiếc áo mới có thể thu hồi được vốn ban đầu?
b) Để lời được \[6\,\,000\,\,000\] đồng thì nhà may cần phải bán bao nhiêu chiếc áo?
Xem đáp án »
16/02/2025
223
Câu 3:
Cho hàm số \(y = \left( {m - 1} \right)x + m\) \((m\) là tham số \(m \ne 1)\) có đồ thị là đường thẳng \(\left( d \right).\)
a) Tìm \(m\) để \(\left( d \right):y = \left( {m - 1} \right)x + m\) song song với \(\left( {d'} \right):y = 2x - 3.\)
b) Vẽ \(\left( d \right)\) với \(m\) tìm được và vẽ \(\left( {d'} \right)\) trên cùng mặt phẳng tọa độ \(Oxy.\)
c) Tìm \(m\) để đường thẳng \(\left( d \right):y = \left( {m - 1} \right)x + m\) và hai đường thẳng \(y = x + 2;\,\,y = \frac{1}{2}x + 3\) đồng quy.
Cho hàm số \(y = \left( {m - 1} \right)x + m\) \((m\) là tham số \(m \ne 1)\) có đồ thị là đường thẳng \(\left( d \right).\)
a) Tìm \(m\) để \(\left( d \right):y = \left( {m - 1} \right)x + m\) song song với \(\left( {d'} \right):y = 2x - 3.\)
b) Vẽ \(\left( d \right)\) với \(m\) tìm được và vẽ \(\left( {d'} \right)\) trên cùng mặt phẳng tọa độ \(Oxy.\)
c) Tìm \(m\) để đường thẳng \(\left( d \right):y = \left( {m - 1} \right)x + m\) và hai đường thẳng \(y = x + 2;\,\,y = \frac{1}{2}x + 3\) đồng quy.
Xem đáp án »
16/02/2025
157
Câu 4:
Giá cho thuê nhà trọ của hai chủ nhà A và B như bảng sau:
Chủ nhà
Tiền thuê nhà trọ và tiền nước mỗi tháng
Giá tính mỗi kW.h điện
A
\[5{\rm{ }}000{\rm{ }}000\]
\[3{\rm{ }}500\]
B
\[4{\rm{ }}500{\rm{ }}000\]
\[4{\rm{ }}000\]
Gọi \(x\) (kW.h) là số kW.h điện tiêu thụ mỗi tháng của người thuê nhà, \(y\) (đồng) là số tiền người thuê nhà phải trả trong mỗi tháng.
a) Viết các công thức tính \(y\) theo \(x\) trong trường hợp một người thuê nhà của chủ nhà A và chủ nhà B.
b) Khi nào thì số tiền thuê nhà phải trả trong mỗi tháng cho chủ nhà A và chủ nhà B bằng nhau?
Giá cho thuê nhà trọ của hai chủ nhà A và B như bảng sau:
|
Chủ nhà |
Tiền thuê nhà trọ và tiền nước mỗi tháng |
Giá tính mỗi kW.h điện |
|
A |
\[5{\rm{ }}000{\rm{ }}000\] |
\[3{\rm{ }}500\] |
|
B |
\[4{\rm{ }}500{\rm{ }}000\] |
\[4{\rm{ }}000\] |
Gọi \(x\) (kW.h) là số kW.h điện tiêu thụ mỗi tháng của người thuê nhà, \(y\) (đồng) là số tiền người thuê nhà phải trả trong mỗi tháng.
a) Viết các công thức tính \(y\) theo \(x\) trong trường hợp một người thuê nhà của chủ nhà A và chủ nhà B.
b) Khi nào thì số tiền thuê nhà phải trả trong mỗi tháng cho chủ nhà A và chủ nhà B bằng nhau?
Xem đáp án »
16/02/2025
152
🔥 Đề thi HOT:
-
Đề kiểm tra Cuối kì 1 Toán 8 KNTT có đáp án (Đề 1)
-
Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án (Đề 1)
-
10 Bài tập Bài toán thực tiễn gắn với việc vận dụng định lí Thalès (có lời giải)
-
15 câu Trắc nghiệm Toán 8 Kết nối tri thức Bài 1: Đơn thức có đáp án
-
Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 8 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án (Đề 1)
-
Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án (Đề 1)
-
10 Bài tập Các bài toán thực tiễn gắn với việc vận dụng định lí Pythagore (có lời giải)
-
10 Bài tập Nhận biết hai hình đồng dạng, hai hình đồng dạng phối cảnh (có lời giải)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận