Cho \(\Delta ABC,\) trung tuyến \[AM,\] đường phân giác của \(\widehat {AMB}\) cắt \[AB\] ở \[D,\] đường phân giác của \(\widehat {AMC}\) cắt \[AC\] ở \[E.\]

a) Chứng minh rằng \(AD \cdot AC = AE \cdot AB\) và \[DE\,{\rm{//}}\,BC.\]

b) Gọi \[I\] là giao điểm của \[AM\] và \[DE.\] Chứng minh rằng \(I\) là trung điểm của \(DE.\)

c) Tính \[DE,\] biết \[BC = 30{\rm{\;cm}}\] và \[AM = 10{\rm{\;cm}}.\]

Hướng dẫn giải

a) Xét \(\Delta ABM\) có \(MD\) là đường phân giác của \(\widehat {AMB}\) nên \(\frac{{MA}}{{MB}} = \frac{{DA}}{{DB}}\) \(\left( 1 \right)\) (tính chất đường phân giác của tam giác).

Xét \[\Delta ACM\] có \(ME\) là đường phân giác của \(\widehat {AMC}\) nên \(\frac{{MA}}{{MC}} = \frac{{EA}}{{EC}}\) \(\left( 2 \right)\) (tính chất đường phân giác của tam giác).

Do \(AM\) là đường trung tuyến của \[\Delta ABC\] nên \(M\) là trung điểm của \(BC,\) hay \(MB = MC = \frac{1}{2}BC.\,\,\,\left( 3 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\,\,\left( 2 \right)\) và \(\left( 3 \right)\) ta có \(\frac{{DA}}{{DB}} = \frac{{EA}}{{EC}}.\)

Theo tính chất tỉ lệ thức ta có \(\frac{{DA}}{{DA + DB}} = \frac{{EA}}{{EA + EC}},\) hay \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}},\) suy ra \(AD \cdot AC = AE \cdot AB.\)

Xét \[\Delta ABC\] có \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}},\) theo định lí Thalès đảo ta có \[DE\,{\rm{//}}\,BC.\]

b) Xét \(\Delta ABM\) có \(DI\,{\rm{//}}\,BM,\) theo hệ quả định lí Thalès ta có \(\frac{{DI}}{{BM}} = \frac{{AI}}{{AM}}.\)

Xét \[\Delta ACM\] có \(IE\,{\rm{//}}\,MC,\) theo hệ quả định lí Thalès ta có \[\frac{{IE}}{{MC}} = \frac{{AI}}{{AM}}.\]

Do đó \(\frac{{DI}}{{BM}} = \frac{{IE}}{{MC}}.\)

Mà \(MB = MC\) (chứng minh ở câu a) nên \(DI = IE,\) hay \[I\] là trung điểm của \(DE.\)

c) Ta có \(MB = MC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 30 = 15{\rm{\;cm}}.\)

Theo câu a, ta có \(\frac{{DA}}{{DB}} = \frac{{MA}}{{MB}},\) suy ra \[\frac{{DA}}{{DA + DB}} = \frac{{MA}}{{MA + MB}} = \frac{{10}}{{10 + 15}} = \frac{{10}}{{25}} = \frac{2}{5}.\]

Do đó \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{2}{5}.\)

Xét \(\Delta ABC\) có \(DE\,{\rm{//}}\,BC,\) theo hệ quả định lí Thalès ta có \(\frac{{DE}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{2}{5}.\)

Suy ra \(DE = \frac{2}{5}BC = \frac{2}{5} \cdot 30 = 12{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right).\)