Cho \(\Delta ABC,\) trung tuyến \[AM,\] đường phân giác của \(\widehat {AMB}\) cắt \[AB\] ở \[D,\] đường phân giác của \(\widehat {AMC}\) cắt \[AC\] ở \[E.\]
a) Chứng minh rằng \(AD \cdot AC = AE \cdot AB\) và \[DE\,{\rm{//}}\,BC.\]
b) Gọi \[I\] là giao điểm của \[AM\] và \[DE.\] Chứng minh rằng \(I\) là trung điểm của \(DE.\)
c) Tính \[DE,\] biết \[BC = 30{\rm{\;cm}}\] và \[AM = 10{\rm{\;cm}}.\]
Cho \(\Delta ABC,\) trung tuyến \[AM,\] đường phân giác của \(\widehat {AMB}\) cắt \[AB\] ở \[D,\] đường phân giác của \(\widehat {AMC}\) cắt \[AC\] ở \[E.\]
a) Chứng minh rằng \(AD \cdot AC = AE \cdot AB\) và \[DE\,{\rm{//}}\,BC.\]
b) Gọi \[I\] là giao điểm của \[AM\] và \[DE.\] Chứng minh rằng \(I\) là trung điểm của \(DE.\)
c) Tính \[DE,\] biết \[BC = 30{\rm{\;cm}}\] và \[AM = 10{\rm{\;cm}}.\]
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
a) Xét \(\Delta ABM\) có \(MD\) là đường phân giác của \(\widehat {AMB}\) nên \(\frac{{MA}}{{MB}} = \frac{{DA}}{{DB}}\) \(\left( 1 \right)\) (tính chất đường phân giác của tam giác).
Xét \[\Delta ACM\] có \(ME\) là đường phân giác của \(\widehat {AMC}\) nên \(\frac{{MA}}{{MC}} = \frac{{EA}}{{EC}}\) \(\left( 2 \right)\) (tính chất đường phân giác của tam giác).
Do \(AM\) là đường trung tuyến của \[\Delta ABC\] nên \(M\) là trung điểm của \(BC,\) hay \(MB = MC = \frac{1}{2}BC.\,\,\,\left( 3 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right),\,\,\left( 2 \right)\) và \(\left( 3 \right)\) ta có \(\frac{{DA}}{{DB}} = \frac{{EA}}{{EC}}.\)
Theo tính chất tỉ lệ thức ta có \(\frac{{DA}}{{DA + DB}} = \frac{{EA}}{{EA + EC}},\) hay \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}},\) suy ra \(AD \cdot AC = AE \cdot AB.\)
Xét \[\Delta ABC\] có \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}},\) theo định lí Thalès đảo ta có \[DE\,{\rm{//}}\,BC.\]
b) Xét \(\Delta ABM\) có \(DI\,{\rm{//}}\,BM,\) theo hệ quả định lí Thalès ta có \(\frac{{DI}}{{BM}} = \frac{{AI}}{{AM}}.\)
Xét \[\Delta ACM\] có \(IE\,{\rm{//}}\,MC,\) theo hệ quả định lí Thalès ta có \[\frac{{IE}}{{MC}} = \frac{{AI}}{{AM}}.\]
Do đó \(\frac{{DI}}{{BM}} = \frac{{IE}}{{MC}}.\)
Mà \(MB = MC\) (chứng minh ở câu a) nên \(DI = IE,\) hay \[I\] là trung điểm của \(DE.\)
c) Ta có \(MB = MC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 30 = 15{\rm{\;cm}}.\)
Theo câu a, ta có \(\frac{{DA}}{{DB}} = \frac{{MA}}{{MB}},\) suy ra \[\frac{{DA}}{{DA + DB}} = \frac{{MA}}{{MA + MB}} = \frac{{10}}{{10 + 15}} = \frac{{10}}{{25}} = \frac{2}{5}.\]
Do đó \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{2}{5}.\)
Xét \(\Delta ABC\) có \(DE\,{\rm{//}}\,BC,\) theo hệ quả định lí Thalès ta có \(\frac{{DE}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{2}{5}.\)
Suy ra \(DE = \frac{2}{5}BC = \frac{2}{5} \cdot 30 = 12{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right).\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Chiều cao trung bình của trẻ 13 tuổi là: \[0,75 + 0,05 \cdot \left( {13 - 1} \right) = 1,35 \left( m \right).\]
b) Gọi \[y\] là chiều cao trung bình; \[x\] là độ tuổi của trẻ em.
Công thức mô tả sự phụ thuộc giữa chiều cao trung bình và độ tuổi của trẻ em Việt Nam là:
\[y = 0,75 + 0,25\left( {x - 1} \right).\]
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) ⦁ Vẽ đồ thị hàm số \(y = x + 3:\)
Cho \(x = 0,\) ta có \(y = 3;\)
Cho \(y = 0,\) ta có \(x = - 3.\)
Đồ thị hàm số \(y = x + 3\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(\left( {0;3} \right)\) và \(\left( { - 3;0} \right).\)
⦁ Vẽ đồ thị hàm số \(y = - \frac{1}{2}x + 3:\)
Cho \(x = 0,\) ta có \(y = 3;\)
Cho \(y = 0,\) ta có \(x = 6.\)
Đồ thị hàm số \(y = - \frac{1}{2}x + 3\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(\left( {0;3} \right)\) và \(\left( {6;0} \right).\)
b)
Giao điểm đồ thị của hàm số (1) với trục hoành là \(M\left( { - 3;0} \right);\)
Giao điểm đồ thị của hàm số (2) với trục hoành là \(N\left( {6;0} \right);\)
Giao điểm của hai đồ thị hàm số (1) và hàm số (2) là \(P\left( {0;3} \right).\)
Vậy \(M\left( { - 3;0} \right);\,\,N\left( {6;0} \right);\,\,P\left( {0;3} \right).\)
c) Tính độ dài các cạnh của \(\Delta MNP:\)
\(MN = MO + ON = 3 + 6 = 9{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right);\)
\(MP = \sqrt {M{O^2} + P{O^2}} = \sqrt {{3^2} + {3^2}} = \sqrt {18} = 3\sqrt 2 {\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right);\)
\(NP = \sqrt {O{P^2} + O{N^2}} = \sqrt {{3^2} + {6^2}} = \sqrt {45} = 3\sqrt 5 {\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right).\)
Diện tích của \(\Delta MNP\) là: \({S_{\Delta MNP}} = \frac{1}{2}PO \cdot MN = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 9 = \frac{{27}}{2}\,\,\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)
Chu vi tam giác \(MNP\) là: \(9 + 3\sqrt 2 + 3\sqrt 5 {\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right).\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập