Trong hệ trục tọa độ \(Oxy\) cho hai điểm \(M\left( {4; - 3} \right),N\left( {4;1} \right)\) và đường thẳng \(d:x + 6y = 0\). Tìm bán kính (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm) của đường tròn \(\left( C \right)\) đi qua \(M\) và \(N\) biết rằng các tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\) và \(N\) cắt nhau tại điểm \(Q\) thuộc \(d\).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Đường thẳng \({\Delta _1}\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 1} \right)\).

b) Đường thẳng \({\Delta _2}\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {2;1} \right)\).

c) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) là nghiệm của hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 6 = 0\\x = 1 + 2t\\y = 3 + t\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + 2t - 3 - t + 6 = 0\\x = 1 + 2t\\y = 3 + t\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = - 4\\x = - 7\\y = - 1\end{array} \right.\).

Vậy hoành độ giao điểm là \( - 7\).

d) Đường thẳng \({\Delta _2}\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {2;1} \right)\) nên nhận \(\overrightarrow {{n_2}} \left( { - 1;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Ta có \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {1.\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right).2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {10} }}\).

Hướng dẫn giải

Điều kiện: \(n \ge 2,n \in \mathbb{N}\).

Ta có \(C_n^1 + C_n^2 = 15\)\( \Leftrightarrow n + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = 15\)\( \Leftrightarrow {n^2} + n - 30 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 5\\n = - 6\end{array} \right.\)\( \Rightarrow n = 5\).

Với \(n = 5\) ta có \({\left( {x + \frac{2}{{{x^4}}}} \right)^5} = {x^5} + 5.{x^4}.\frac{2}{{{x^4}}} + 10.{x^3}.{\left( {\frac{2}{{{x^4}}}} \right)^2} + 10.{x^2}.{\left( {\frac{2}{{{x^4}}}} \right)^3} + 5.x.{\left( {\frac{2}{{{x^4}}}} \right)^4} + {\left( {\frac{2}{{{x^4}}}} \right)^5}\)

\( = {x^5} + 10 + \frac{{40}}{{{x^5}}} + \frac{{80}}{{{x^{10}}}} + \frac{{80}}{{{x^{15}}}} + \frac{{32}}{{{x^{20}}}}\).

Số hạng không chứa \(x\) trong khai triển trên là \(10\).