Tìm nghiệm nguyên: 1 + x + x2 + x3 = y3.

Ta có 1 + x + x2 + x3 = y3 Suy ra [{ left( {x + frac{1}{2}} right)^2} + frac{3}{4} + {x^3} = {y^3} ] Do đó y3 > x3. Xét hiệu: y3 − (x + 2)3 = x3 + x2 + x + 1 − x3 − 6x2 − 12x − 8 = −5x2 − 11x − 7 [ = - 5{ left( {x + frac{{11}}{{10}}} right)^2} - frac{{19}}{{20}} < 0 ] với mọi x. Suy ra y3 < (x + 2)3 Tóm lại x3 < y3 < (x + 2)3 Mà x; y nguyên nên y = x + 1. Thế vào phương trình ban đầu, ta được: 1 + x + x2 + x3 = x3 + 3x2 + 3x + 1 Suy ra 2x2 + 2x = 0 2x(x + 1) = 0 x = 0 hoặc x + 1 = 0 x = 0 hoặc x = ‒1 Với x = 0, suy ra y = 1 Với x = ‒1, suy ra y = 0. Vậy các nghiệm nguyên cần tìm là: (0; 1); (‒1; 0).

Câu hỏi:

13/03/2025 167

Tìm nghiệm nguyên: 1 + x + x² + x³ = y³.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có 1 + x + x² + x³ = y³

Suy ra \[{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} + {x^3} = {y^3}\]

Do đó y³ > x³.

Xét hiệu:

y³ − (x + 2)³ = x³ + x² + x + 1 − x³ − 6x² − 12x − 8

= −5x² − 11x − 7

\[ = - 5{\left( {x + \frac{{11}}{{10}}} \right)^2} - \frac{{19}}{{20}} < 0\] với mọi x.

Suy ra y³ < (x + 2)³

Tóm lại x³ < y³ < (x + 2)³

Mà x; y nguyên nên y = x + 1.

Thế vào phương trình ban đầu, ta được:

1 + x + x² + x³ = x³ + 3x² + 3x + 1

Suy ra 2x² + 2x = 0

2x(x + 1) = 0

x = 0 hoặc x + 1 = 0

x = 0 hoặc x = ‒1

Với x = 0, suy ra y = 1

Với x = ‒1, suy ra y = 0.

Vậy các nghiệm nguyên cần tìm là: (0; 1); (‒1; 0).

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tung độ là gì? Hoành độ là gì? (trong hàm số bậc nhất)

Xem đáp án

Lời giải

- Tung độ là giá trị của hàm số tại một điểm trên trục tung. Nó thể hiện độ cao của điểm đó trên đồ thị. Tung độ được ký hiệu là y và thường được biểu diễn dưới dạng y = f(x), trong đó f(x) là hàm số bậc nhất.

- Hoành độ là giá trị của biến độc lập (thường là x) tại một điểm trên trục hoành. Nó thể hiện vị trí ngang của điểm đó trên đồ thị. Hoành độ được ký hiệu là x và thường được biểu diễn dưới dạng y = f(x) , trong đó f(x) là hàm số bậc nhất.

Câu 2