Tìm nghiệm nguyên dương x, y biết: x² + y² + 2(1 + y)x = 14y – 1

x² + y² + 2(1 + y)x = 14y – 1

⇔ x² + y² + 2x + 2xy – 14y + 1 = 0

⇔ (x + y)² + 2x – 14y + 1 = 0

⇔ (x + y)² + 2(x + y) + 1 = 16y

⇔ (x + y + 1)² = 16y

Vì (x + y + 1)² là số chính phương, mà số chính phương chia 4 dư 0 hoặc 1.

Mà 16 chia hết cho 4

Nên y chia 4 dư 0 hoặc 1 và y là số chính phương, y ≥ 0 vì (x + y + 1)² ≥ 0

Đặt y = k² (k là số nguyên) (k ≥ 0)

Ta có: (x + y + 1)² = 16k² = (4k)²

⇔ (x + k² + 1)² – (4k)² = 0

⇔ (x + k² + 1 + 4k)(x + k² + 1 – 4k) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = - \left( {{k^2} + 4k + 1} \right) = - {\left( {k + 2} \right)^2} + 3\\x = - \left( {{k^2} - 4k + 1} \right) = - {\left( {k - 2} \right)^2} + 3\end{array} \right.\)

Ta thấy trong cả 2 trường hợp thì x ≤ 3

Suy ra: x = 1, 2, 3

Với x = 1, có (y + 2)² = 16y ⇒ không có y thỏa mãn

Với x = 2, có (y + 3)²  = 16y ⇒ y² – 10y + 9 = 0 ⇒ \(\left[ \begin{array}{l}y = 1\\y = 9\end{array} \right.\)

Với x = 3, có (y + 4)²  = 16y ⇒ y² – 8y + 16 = 0 ⇒ y = 4.

Vậy (x ; y) ∈ {(2;1) , (3;4) , (2;9)}.