Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A.\) Trên tia đối của tia \(AB\) lấy điểm \(D\) sao cho \(AD = AB.\) Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\), đường thẳng qua \(D\) và song song với \(BC\) cắt đường thẳng \(BM\) tại \(E.\) Gọi \(G\) là giao điểm của \(AE\) và \(DM.\)

a) \(\Delta ABC = \Delta ACD\).

b) Suy ra \(CB = CD\) (hai cạnh tương ứng)

Do đó, \(\Delta CBD\) cân tại \(C\).

C) Ta có: \(DE\parallel BC\) nên \(\widehat {CMB} = \widehat {MED}\).

Lại có \(\widehat {BMC} = \widehat {DME}\) (đối đỉnh) (1)

\(\widehat {MDE} = 180^\circ - \widehat {DME} - \widehat {MED}\).

\(\widehat {BMC} = 180^\circ - \widehat {CBM} - \widehat {BCM}\).

Suy ra \(\widehat {BCM} = \widehat {MDE}\) (2)

Mặt khác \(MD = MC\) (gt) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra \(\Delta BMC = \Delta MED\) (g.c.g)

Suy ra \(DC = DE\) mà \(DC = BC\) nên \(DE = BC\) (đpcm)

d) Ta có: \(MB = ME\) (vì \(\Delta MBC = \Delta MED\)); \(AB = AD\) (gt)

Do đó, \(\Delta BDE\) có \(DM\) và \(EA\) là hai đường trung tuyến cắt nhau tại \(G\) suy ra \(G\) là trọng tâm \(\Delta BDE.\)

Suy ra \(GM = \frac{1}{3}DM = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}DC = \frac{1}{6}BC\) hay \(BC = 6GM.\)