Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 7 Cánh diều (2022-2023) có đáp án - Đề 1

Các số tự nhiên có hai chữ số là: \(10;11;12;13;...;98;99\), có tất cả \(\frac{{99 - 10}}{1} + 1 = 90\) số.

a) Biến cố A: Số được xóa đi chia hết cho 10:

Trong 90 số trên, có 9 số chia hết cho 10 là: \(10;20;30;40;50;60;70;80;90\).

Do đó có 9 kết quả làm cho biến cố A xảy ra.

Xác suất của biến cố A là: \(\frac{9}{{90}} = \frac{1}{{10}}\).

b) Biến cố B: Số được xóa đi là số có thể viết được thành bình phương của một số tự nhiên.

Trong 90 số trên, có 6 số viết được thành bình phương của một số tự nhiên là:

\(16;25;36;49;64;81\).

Do đó có 6 kết quả làm cho biến cố B xảy ra.

Xác suất của biến cố B là: \(\frac{6}{{90}} = \frac{1}{{15}}\).

c) Biến cố C: Số được xóa đi có 2 chữ số giống nhau nhưng không chia hết cho 2.

Trong 90 số trên, có 5 số có 2 chữ số giống nhau nhưng không chia hết cho 2 là:

\(11;33;55;77;99\).

Do đó có 5 kết quả làm cho biến cố C xảy ra.

Xác suất của biến cố C là: \(\frac{5}{{90}} = \frac{1}{{18}}\).

a) Ta có:

\[\begin{array}{l}P\left( x \right) = 3{x^4} + 7{x^2} - {x^3} + 2023 + 8x - 6{x^2} + 2{x^3} - 3{x^4} - 12x\\{\rm{ = }}\left( {3{x^4} - 3{x^4}} \right) + \left( { - {x^3} + 2{x^3}} \right) + \left( {7{x^2} - 6{x^2}} \right) + \left( {8x - 12x} \right) + 2023\\{\rm{ = }}{x^3} + {x^2} - 4x + 2023.\end{array}\]

Do đó \(P\left( x \right)\) có:

Bậc là \(3\).

Hệ số bậc cao nhất là \(1\).

Hệ số tự do là \(2023\).

b) Thay \(x = 2\) vào \(P\left( x \right)\) ta được \(P\left( 2 \right) = {2^3} + {2^2} - 4 \cdot 2 + 2023 = 2027\).

c) Thay \(x = - 1\) vào \(P\left( x \right)\) ta được \(P\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^3} + {\left( { - 1} \right)^2} - 4 \cdot \left( { - 1} \right) + 2023 = 2017 \ne 0\).

Do đó \(x = - 1\) không phải là nghiệm của đa thức \(P\left( x \right)\).

d) Ta có:

\(\begin{array}{l}M\left( x \right) = P\left( x \right) - {x^3} - {x^2} - 2010\\{\rm{ }} = {x^3} + {x^2} - 4x + 2023 - {x^3} - {x^2} - 2010\\{\rm{ }} = - 4x + 13.\end{array}\)

Cho \(M\left( x \right) = 0\) ta được \( - 4x + 13 = 0\) hay \(x = \frac{{13}}{4}\).

Vậy \(x = \frac{{13}}{4}\) là nghiệm của đa thức \(M\left( x \right)\).

a) \[A(x) + B(x) = (2{x^3} - 5{x^2} + x + 5) + (7{x^3} - 2x + 1)\]

\[ = \left( {2{x^3} + 7{x^3}} \right) - 5{x^2} + \left( {x - 2x} \right) + \left( {5 + 1} \right)\]

\[ = 9{x^3} - 5{x^2} - x + 6\]

b) \[A(x) - B(x) = (2{x^3} - 5{x^2} + x + 5) - (7{x^3} - 2x + 1)\]

\[ = 2{x^3} - 5{x^2} + x + 5 - 7{x^3} + 2x - 1\]

\[ = \left( {2{x^3} - 7{x^3}} \right) - 5{x^2} + \left( {x + 2x} \right) + \left( {5 - 1} \right)\]

\[ = - 5{x^3} - 5{x^2} + 3x + 4\].

a) Xét \(\Delta ABC\) có : \(\widehat {BAC} + \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ \)(định lý tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra \(\widehat {ABC} = 180^\circ - \widehat {BAC} - \widehat {ACB} = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \).

Xét \(\Delta ABD\) có \(BA = BD\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \Delta ABD\) cân tại \(B\) (dấu hiệu nhận biết)

Mà \(\widehat {ABC} = 60^\circ \) (cmt)

Suy ra \(\Delta ABD\) là tam giác đều (dấu hiệu nhận biết)

b) Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta DBE\) có :

\(\widehat {BAE} = \widehat {BDE} = 90^\circ \)

\(BE\) : cạnh chung

\(BA = BD\,\,\left( {gt} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta ABE = \Delta DBE\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

\( \Rightarrow \widehat {ABE} = \widehat {DBE}\) (hai góc tương ứng)

\( \Rightarrow BE\) là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\).

c) Chứng minh \(AD = \frac{1}{2}BC\).

Theo b ta có \(BE\) là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\)

Mà \(\widehat {ABC} = 60^\circ \) nên \[\widehat {ABE} = \widehat {DBE} = \frac{1}{2}\widehat {ABC} = \frac{1}{2}.60^\circ = 30^\circ \]

Lại có \(\widehat {ACB} = 30^\circ \,\,\left( {gt} \right)\) nên \(\widehat {EBC} = \widehat {ECB} = 30^\circ \).

Do đó \(\Delta BCE\) cân tại \(E\)

\(\Delta BCE\) cân tại \(E\) có \(ED\) là đường cao nên \(ED\) đồng thời là đường trung tuyến

\( \Rightarrow BD = DC = \frac{1}{2}BC\)

Mà \(\Delta ABD\) là tam giác đều (theo a) nên \(AD = BD = \frac{1}{2}BC\). Do đó \(AD = \frac{1}{2}BC\).

d) Xét \(\Delta MBC\) có hai đường cao \(CA\) và \(BN\) cắt nhau tại \(E\) nên \(E\) là trực tâm của tam giác

Do đó \(ME \bot BC\)

Lại \(ED \bot BC\) nên ba điểm \(M,\,E,\,\,D\) thẳng hàng \( \Rightarrow DE\) đi qua \(M\)

Mà \(CN\) cắt \(BA\) tại \(M\) \( \Rightarrow \) ba đường thẳng \(BA,\,\,CN,\,\,DE\) cùng đi qua điểm \(M\).

Đa thức \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có nghiệm là 1 và \( - 1\) khi:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + b + c + d = 0}\\{a - b + c - d = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = - c}\\{b = - d}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy khi \(a = - c\) và \(b = - d\) thì đa thức \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có hai nghiệm là \( \pm 1\).

• Khi đa thức \[f\left( x \right)\] có 2 nghiệm là \( \pm 1\) thì ta có:

\(f(x) = a{x^3} + b{x^2} - ax - b\)

• Ta có \(f\left( x \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow a{x^3} + b{x^2} - ax - b = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2}\left( {ax + b} \right) - \left( {ax + b} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {ax + b} \right)\left( {{x^2} - 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {ax + b} \right)\left[ {x\left( {x - 1} \right) + \left( {x - 1} \right)} \right] = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {ax + b} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}ax + b = 0\\x - 1 = 0\\x + 1 = 0\end{array} \right.\)

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{b}{a}\\x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\]

\( \Rightarrow \) Ngoài nghiệm \(x = \pm 1\) thì đa thức \[f\left( x \right)\] còn nghiệm thứ 3 là \(x = - \frac{b}{a}\).