10 Bài tập Vận dụng định nghĩa, tính chất của tam giác cân để chứng minh tính chất khác (có lời giải)

Xét ∆BDM và ∆CEM, có:

\[\widehat {BDM} = \widehat {CEM} = 90^\circ \].

\[\widehat {DBM} = \widehat {ECM}\] (∆ABC cân tại A).

MB = MC (M là trung điểm BC).

Do đó ∆BDM = ∆CEM (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra BD = CE và \[\widehat {BMD} = \widehat {CME}\] (cặp cạnh và cặp góc tương ứng).

Do đó đáp án A, C đúng.

Xét ∆ADM và ∆AEM, có:

\[\widehat {ADM} = \widehat {AEM} = 90^\circ \].

AM là cạnh chung.

DM = EM (∆BDM = ∆CEM).

Do đó ∆ADM = ∆AEM (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra AD = AE (cặp cạnh tương ứng).

Do đó đáp án B đúng.

Vậy ta chọn đáp án D.

Ta xét từng đáp án:

+ Đáp án B, D:

Vì ∆ABC cân tại A nên ta có AB = AC và \[\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\].

Xét ∆ABE và ∆ACD, có:

\[\widehat {BAC}\] là góc chung.

AB = AC (chứng minh trên).

AD = AE (giả thiết).

Do đó ∆ABE = ∆ACD (cạnh – góc – cạnh).

Suy ra BE = CD và \[\widehat {ABE} = \widehat {ACD}\] (cặp cạnh và cặp góc tương ứng).

Do đó đáp án B đúng, đáp án D sai.

Đến đây ta có thể chọn đáp án B.

+ Đáp án C:

Ta có A, D, B thẳng hàng. Suy ra BD = AB – AD.

Ta có A, E, C thẳng hàng. Suy ra EC = AC – AE.

Ta có AB = AC (chứng minh trên) và AD = AE (giả thiết).

Suy ra AB – AD = AC – AE.

Do đó BD = EC.

Do đó đáp án C sai.

+ Đáp án A:

Xét ∆BDC và ∆CEB, có:

BC là cạnh chung.

BD = EC (chứng minh trên).

\[\widehat {DBC} = \widehat {ECB}\] (chứng minh trên).

Do đó ∆BDC = ∆CEB (cạnh – góc – cạnh).

Suy ra \[\widehat {BDC} = \widehat {CEB}\] (cặp góc tương ứng).

Do đó đáp án A sai.

Vậy ta chọn đáp án B.

Ta có M là trung điểm AC (giả thiết).

Do đó AC = 2AM = 2CM (1).

Ta có N là trung điểm AB (giả thiết).

Do đó AB = 2AN = 2BN (2).

Vì ∆ABC cân tại A nên AB = AC (3).

Từ (1), (2), (3), ta suy ra AM = AN = CM = BN.

Xét ∆ABM và ∆ACN, có:

AB = AC (∆ABC cân tại A).

\[\widehat {BAC}\] là góc chung.

AM = AN (chứng minh trên).

Do đó ∆ABM = ∆ACN (cạnh – góc – cạnh).

Suy ra (I) đúng.

Xét ∆BMC và ∆CNB, có:

BC là cạnh chung.

CM = BN (chứng minh trên).

\[\widehat {NBC} = \widehat {MBC}\] (∆ABC cân tại A).

Do đó ∆BMC = ∆CNB (cạnh – góc – cạnh).

Suy ra (II) đúng.

Vậy ta chọn đáp án D.

Vì AM = AN nên ∆AMN cân tại A.

Suy ra \[\widehat {AMN} = \widehat {ANM}\].

Do đó đáp án D sai.

Xét ∆AMN, có: \[\widehat {MAN} + \widehat {AMN} + \widehat {ANM} = 180^\circ \].

Suy ra \[2\widehat {AMN} = 180^\circ - \widehat {MAN} = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \].

Do đó \[\widehat {AMN} = 40^\circ \].

Xét ∆ABC, có: \[\widehat {BAC} + \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ \].

Suy ra \[2\widehat {ABC} = 180^\circ - \widehat {BAC} = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \].

Do đó \[\widehat {ABC} = 40^\circ \].

Ta suy ra \[\widehat {AMN} = \widehat {ABC} = 40^\circ \].

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị.

Suy ra MN // BC.

Do đó đáp án A đúng.

Vì ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác và MN // BC.

Nên MN không song song với AB và MN không song song với AC.

Do đó đáp án B, C sai.

Vậy ta chọn đáp án A.

Vì ∆ABC cân tại A nên AB = AC.

Mà AE = AD (giả thiết).

Do đó AB – AE = AC – AD.

Suy ra EB = DC.

Xét ∆CBE và ∆BCD, có:

BC là cạnh chung.

EB = DC (chứng minh trên).

\[\widehat {EBC} = \widehat {DCB}\] (∆ABC cân tại A).

Do đó ∆CBE = ∆BCD (cạnh – góc – cạnh).

Suy ra \[\widehat {CEB} = \widehat {BDC} = 90^\circ \] (cặp góc tương ứng).

Khi đó ta có CE ⊥ BE hay CE ⊥ AB.

Do đó đáp án C đúng.

Vì A, B, C tạo thành một tam giác và CE ⊥ AB.

Nên CE không vuông góc với BC và CE không vuông góc với AC.

Do đó đáp án B, D sai.

∆ADE có AE = AD.

Suy ra ∆ADE cân tại A.

Do đó \[\widehat {AED} = \widehat {ADE}\].

∆ADE có: \[\widehat {BAC} + \widehat {AED} + \widehat {ADE} = 180^\circ \].

Suy ra \[2\widehat {AED} = 180^\circ - \widehat {BAC}\]    (1).

∆ABC có: \[\widehat {BAC} + \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ \].

Suy ra \[2\widehat {ABC} = 180^\circ - \widehat {BAC}\] (2).

Từ (1), (2), ta suy ra \[\widehat {AED} = \widehat {ABC}\].

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị.

Do đó DE // BC.

Suy ra đáp án A sai.

Vậy ta chọn đáp án C.

Xét ∆ABE và ∆ACD, có:

AB = AC (∆ABC cân tại A).

AE = AD (giả thiết).

\[\widehat {BAE} = \widehat {CAD}\] (hai góc đối đỉnh).

Do đó ∆ABE = ∆ACD (cạnh – góc – cạnh).

Suy ra EB = DC và \[\widehat {BEA} = \widehat {CDA}\] (cặp cạnh và cặp góc tương ứng).

Do đó đáp án A sai, đáp án C đúng.

Đến đây ta có thể chọn đáp án A.

Xét ∆ABM và ∆ACM, có:

AB = AC (∆ABC cân tại A).

BM = CM (AM là đường trung tuyến của ∆ABC).

\[\widehat {ABM} = \widehat {ACM}\] (∆ABC cân tại A).

Do đó ∆ABM = ∆ACM (cạnh – góc – cạnh).

Suy ra \[\widehat {BAM} = \widehat {CAM}\] (cặp góc tương ứng).

Lại có \[\widehat {BAM} = \widehat {DAH}\] (hai góc đối đỉnh) và \[\widehat {HAE} = \widehat {CAM}\] (hai góc đối đỉnh).

Suy ra \[\widehat {HAE} = \widehat {DAH}\].

Do đó đáp án D đúng.

Vì AD = AE (giả thiết).

Nên ∆ADE cân tại A.

Xét ∆DAH và ∆HAE, có:

AD = AE (giả thiết).

\[\widehat {AEH} = \widehat {ADH}\] (∆ADE cân tại A).

\[\widehat {HAE} = \widehat {DAH}\] (chứng minh trên).

Do đó ∆DAH = ∆HAE (góc – cạnh – góc).

Suy ra \[\widehat {AHE} = \widehat {AHD}\] (cặp góc tương ứng).

Lại có: \[\widehat {AHE} + \widehat {AHD} = 180^\circ \] (hai góc kề bù).

Do đó \[\widehat {AHE} = \widehat {AHD} = 90^\circ \].

Do đó đáp án B đúng.

Vậy ta chọn đáp án A.