(1,5 điểm) Viết các số tự nhiên có 2 chữ số. Xóa đi một trong các số đó. Tính xác suất của mỗi biến cố sau:

(a) Biến cố A: Số được xóa đi chia hết cho 10.

(b) Biến cố B: Số được xóa đi là số có thể viết được thành bình phương của một số tự nhiên.

(c) Biến cố C: Số được xóa đi có 2 chữ số giống nhau nhưng không chia hết cho 2.

a) Xét \(\Delta ABC\) có : \(\widehat {BAC} + \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ \)(định lý tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra \(\widehat {ABC} = 180^\circ - \widehat {BAC} - \widehat {ACB} = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \).

Xét \(\Delta ABD\) có \(BA = BD\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \Delta ABD\) cân tại \(B\) (dấu hiệu nhận biết)

Mà \(\widehat {ABC} = 60^\circ \) (cmt)

Suy ra \(\Delta ABD\) là tam giác đều (dấu hiệu nhận biết)

b) Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta DBE\) có :

\(\widehat {BAE} = \widehat {BDE} = 90^\circ \)

\(BE\) : cạnh chung

\(BA = BD\,\,\left( {gt} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta ABE = \Delta DBE\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

\( \Rightarrow \widehat {ABE} = \widehat {DBE}\) (hai góc tương ứng)

\( \Rightarrow BE\) là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\).

c) Chứng minh \(AD = \frac{1}{2}BC\).

Theo b ta có \(BE\) là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\)

Mà \(\widehat {ABC} = 60^\circ \) nên \[\widehat {ABE} = \widehat {DBE} = \frac{1}{2}\widehat {ABC} = \frac{1}{2}.60^\circ = 30^\circ \]

Lại có \(\widehat {ACB} = 30^\circ \,\,\left( {gt} \right)\) nên \(\widehat {EBC} = \widehat {ECB} = 30^\circ \).

Do đó \(\Delta BCE\) cân tại \(E\)

\(\Delta BCE\) cân tại \(E\) có \(ED\) là đường cao nên \(ED\) đồng thời là đường trung tuyến

\( \Rightarrow BD = DC = \frac{1}{2}BC\)

Mà \(\Delta ABD\) là tam giác đều (theo a) nên \(AD = BD = \frac{1}{2}BC\). Do đó \(AD = \frac{1}{2}BC\).

d) Xét \(\Delta MBC\) có hai đường cao \(CA\) và \(BN\) cắt nhau tại \(E\) nên \(E\) là trực tâm của tam giác

Do đó \(ME \bot BC\)

Lại \(ED \bot BC\) nên ba điểm \(M,\,E,\,\,D\) thẳng hàng \( \Rightarrow DE\) đi qua \(M\)

Mà \(CN\) cắt \(BA\) tại \(M\) \( \Rightarrow \) ba đường thẳng \(BA,\,\,CN,\,\,DE\) cùng đi qua điểm \(M\).

a) Ta có:

\[\begin{array}{l}P\left( x \right) = 3{x^4} + 7{x^2} - {x^3} + 2023 + 8x - 6{x^2} + 2{x^3} - 3{x^4} - 12x\\{\rm{ = }}\left( {3{x^4} - 3{x^4}} \right) + \left( { - {x^3} + 2{x^3}} \right) + \left( {7{x^2} - 6{x^2}} \right) + \left( {8x - 12x} \right) + 2023\\{\rm{ = }}{x^3} + {x^2} - 4x + 2023.\end{array}\]

Do đó \(P\left( x \right)\) có:

Bậc là \(3\).

Hệ số bậc cao nhất là \(1\).

Hệ số tự do là \(2023\).

b) Thay \(x = 2\) vào \(P\left( x \right)\) ta được \(P\left( 2 \right) = {2^3} + {2^2} - 4 \cdot 2 + 2023 = 2027\).

c) Thay \(x = - 1\) vào \(P\left( x \right)\) ta được \(P\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^3} + {\left( { - 1} \right)^2} - 4 \cdot \left( { - 1} \right) + 2023 = 2017 \ne 0\).

Do đó \(x = - 1\) không phải là nghiệm của đa thức \(P\left( x \right)\).

d) Ta có:

\(\begin{array}{l}M\left( x \right) = P\left( x \right) - {x^3} - {x^2} - 2010\\{\rm{ }} = {x^3} + {x^2} - 4x + 2023 - {x^3} - {x^2} - 2010\\{\rm{ }} = - 4x + 13.\end{array}\)

Cho \(M\left( x \right) = 0\) ta được \( - 4x + 13 = 0\) hay \(x = \frac{{13}}{4}\).

Vậy \(x = \frac{{13}}{4}\) là nghiệm của đa thức \(M\left( x \right)\).