Câu 28-30. (1,5 điểm) Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\), vẽ \(AH\) vuông góc với \(BC\) tại \(H.\)

a) Chứng minh \(\Delta AHB = \Delta AHC.\)

b) Xét \(\Delta BMC\) và \(\Delta KMA\), ta có:

\(\widehat {BMC} = \widehat {KMA}\) (đối đỉnh)

\(MA = MC\) (\(BM\) là trung tuyến của \(\Delta ABC\))

\(MB = MK\) (gt)

Suy ra \(\Delta BMC = \Delta KMA\) (c.g.c)

Do đó, \(\widehat {KAM} = \widehat {BCM}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {ABC} = \widehat {BCM}\) (vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\)) nên \(\widehat {KAM} = \widehat {ABC}\).

c) Theo câu a) ta có \(\Delta AHB = \Delta AHC\) nên \(BH = CH\) (hai cạnh tương ứng)

Nên \(AH\) là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\).

Xét \(\Delta ABC\) có hai đường trung tuyến \(AH,BM\) cắt nhau tại \(O.\)

Nên \(O\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\).

Suy ra \(OM = \frac{1}{3}BM\) và \(OB = \frac{2}{3}BM\) (1).

Xét \(\Delta OHB\) và \(\Delta OHC\), ta có:

\(\widehat {OHB} = \widehat {OHC} = 90^\circ \)

\(HB = HC\) (cmt)

\(OH\) chung

Suy ra \(\Delta OHB = \Delta OHC\) (c.g.c)

Nên \(OB = OC\) (hai cạnh tương ứng) (2)

Ta có: \(OK = OM + MK\)

Suy ra \(OK = \frac{1}{3}BM + BM\) (vì \(MK = BM\) và \(OM = \frac{1}{3}BM\))

Vậy \(OK = \frac{4}{3}BM\) (3)

Từ (1) và (2) suy ra \(OC = \frac{2}{3}BM\) (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(OK = 2.\frac{2}{3}BM = 2OC.\)