Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 76 đến 77

Cho phương trình \(\log _3^2x + \sqrt {\log _3^2x + 1} - 2m - 1 = 0\), với m là tham số thực.

Phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {1\,;\,{3^{\sqrt 3 }}} \right]\) khi và chỉ khi     

Từ điều kiện: \(x \in \left[ {1\,;\,{3^{\sqrt 3 }}} \right] \Leftrightarrow 1 \le x \le {3^{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow 0 \le {\log _3}x \le \sqrt 3 \)

\( \Leftrightarrow 1 \le \log _3^2x + 1 \le 4\)\( \Leftrightarrow 1 \le \sqrt {\log _3^2x + 1} \le 2 \Leftrightarrow 1 \le t \le 2\).

Cách 1: Phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {1\,;\,{3^{\sqrt 3 }}} \right]\)

\( \Leftrightarrow \) phương trình \(f\left( t \right) = {t^2} + t - 2m - 2 = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {1\,;\,2} \right]\)

\( \Leftrightarrow \) đường thẳng \(y = 2m + 2\) cắt phần đồ thị hàm số \(y = {t^2} + t\) lấy trên đoạn \(\left[ {1\,;\,2} \right]\) tại ít nhất một điểm.

Ta xét hàm số \(y = {t^2} + t\).

+) Miền xác định \(D = \left[ {1\,;\,2} \right]\).

+) Đạo hàm \(y' = 2t + 1,\,\,y' = 0 \Leftrightarrow 2t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{1}{2}\).

+) Bảng biến thiên:

Vậy điều kiện là: \(2 \le 2m + 2 \le 6 \Leftrightarrow 0 \le m \le 2\).

Cách 2: Phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {1\,;\,{3^{\sqrt 3 }}} \right]\)

\( \Leftrightarrow \) phương trình \(f\left( t \right) = {t^2} + t - 2m - 2 = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {1\,;\,2} \right]\)

\( \Leftrightarrow \) đường thẳng \(y = 2m + 2\) cắt phần đồ thị hàm số \(y = {t^2} + t\) lấy trên đoạn \(\left[ {1\,;\,2} \right]\) tại ít nhất một điểm.

Ta xét hàm số \(y = {t^2} + t\).

+) Miền xác định \(D = \left[ {1\,;\,2} \right]\).

+) Đạo hàm \(y' = 2t + 1 > 0,\,\forall t \in D\). Suy ra hàm số đồng biến trên \(D\).

Vậy điều kiện là: \(y\left( 1 \right) \le 2m + 2 \le y\left( 2 \right) \Leftrightarrow 2 \le 2m + 2 \le 6 \Leftrightarrow 0 \le m \le 2\).

Cách 3: Phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {1\,;\,{3^{\sqrt 3 }}} \right]\)

\( \Leftrightarrow \) phương trình \(f\left( t \right) = {t^2} + t - 2m - 2 = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {1\,;\,2} \right]\)

\( \Leftrightarrow \) phương trình \(f\left( t \right) = {t^2} + t - 2m - 2 = 0\) có nghiệm thỏa mãn:

\(\left[ \begin{array}{l}1 < {t_1} \le {t_2} < 2\\{t_1} \le 1 \le {t_2} \le 2\\1 \le {t_1} \le 2 \le {t_2}\end{array} \right.\) với \({t_1} + {t_2} = - 1\) \( \Leftrightarrow f\left( 1 \right) \cdot f\left( 2 \right) \le 0 \Leftrightarrow - 2m\left( {4 - 2m} \right) \le 0 \Leftrightarrow 0 \le m \le 2\). Chọn D.