Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 88 đến 90

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) có phương trình:

\(d:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z - 1}}{5}\); $\left(\alpha \right):2x+y+z-8=0$

Côsin góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) bằng    

Đưa phương trình đường thẳng d về dạng tham số, ta được \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = - 1 + 3t\\z = 1 + 5t\end{array} \right.\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).

Tọa độ giao điểm của đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) thỏa mãn hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = - 1 + 3t\\z = 1 + 5t\\2x + y + z - 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = - 1 + 3t\\z = 1 + 5t\\2\left( {2 + 2t} \right) + \left( { - 1 + 3t} \right) + \left( {1 + 5t} \right) - 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{8}{3}\\y = 0\\z = \frac{8}{3}\\t = \frac{1}{3}\end{array} \right.\).

Vậy giao điểm của đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \(I\left( {\frac{8}{3}\,;\,0\,;\,\frac{8}{3}} \right)\). Chọn D.

Gọi \(\left( \beta \right)\) là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với \(\left( \alpha \right)\) thì hình chiếu \(d'\) của d trên \(\left( \alpha \right)\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) và \(\left( \alpha \right)\). Ta cần xác định phương trình của mặt phẳng \(\left( \beta \right)\).

Vectơ pháp tuyến \({\vec n_\beta }\) của \(\left( \beta \right)\) vuông góc với cả \(\vec u\) và \(\vec n\) nên ta chọn \({\vec n_\beta } = \left[ {\vec u\,,\,\vec n} \right] = \left( { - 2\,;\,8\,;\, - 4} \right)\).

Ngoài ra, \(\left( \beta \right)\) đi qua d nên cũng đi qua điểm \(A\left( {2;\, - 1;\,1} \right)\). Do đó, \(\left( \beta \right)\) có phương trình:

\( - 2\left( {x - 2} \right) + 8\left( {y + 1} \right) - 4\left( {z - 1} \right) = 0\) hay \( - x + 4y - 2z + 8 = 0\).

Suy ra phương trình tham số của hình chiếu \(d'\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{8}{3} - 2t\\\begin{array}{*{20}{c}}{y = t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{z = \frac{8}{3} + 3t}\end{array}\end{array} \right.\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\). Chọn C.