Câu hỏi:

26/04/2025 137

Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 85 đến 87

Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(2a\), chiều cao \(SA\) và góc giữa \(SC\) và mặt đáy bằng \(45^\circ \).

Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) là:

A. \(\frac{{8{a^3}\sqrt 2 }}{3}\).

B. \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\).

C. \(8{a^3}\).

D. \(2{a^3}\sqrt 2 \).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hồ Chí Minh năm 2025 có đáp án (Đề 23) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

b (ảnh 1)

Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên

\(\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = \widehat {SCA} = 45^\circ \).

Do đáy hình vuông cạnh \(2a\) nên đường chéo \(AC = 2a\sqrt 2 \).

\(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(SA \bot AC\).

Xét \(\Delta {\rm{SAC}}\) vuông tại A có \(\widehat {SCA} = 45^\circ \Rightarrow {\rm{\Delta SAC}}\) vuông cân tại A \( \Rightarrow SA = AC = 2a\sqrt 2 \).

Vậy \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SA \cdot {S_{ABCD}} = \frac{{2a\sqrt 2 \cdot 4{a^2}}}{3} = \frac{{8{a^3}\sqrt 2 }}{3}\). Chọn A.

Câu hỏi cùng đoạn

Câu 2:

Góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) gần nhất với giá trị nào dưới đây?

A. \(25^\circ \).

B. \(43^\circ \).

C. \(67^\circ \).

D. \(72^\circ \).

Xem lời giải

Lời giải của GV VietJack

Gọi \(O\) là tâm của hình vuông của \(ABCD\).

Ta có:

\(BD \bot AC\) (do \(ABCD\) là hình vuông).

\(SA \bot BD\) (do \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\)).

Suy ra \(BD \bot \left( {SAC} \right)\). Do đó góc giữa đường thẳng \(SB\) và \(\left( {SAC} \right)\) là góc \(BSO\).

Ta có \(\Delta SAB\) vuông vì \(SA \bot AB\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\).

\( \Rightarrow {\rm{SB}} = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = \sqrt {{{\left( {2a\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}} = 2a\sqrt 3 \).

Có \(BO = \frac{{BD}}{2} = \frac{{2a\sqrt 2 }}{2} = a\sqrt 2 \).

Vì \(BD \bot \left( {SAC} \right)\) nên \(BD \bot SO\) hay \(BO \bot SO\).

\(\Delta SBO\) vuông tại \(O\) nên \({\rm{sin}}\widehat {BSO} = \frac{{BO}}{{SB}} = \frac{{{\rm{a}}\sqrt 2 }}{{2a\sqrt 3 }} = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\). Suy ra \(\widehat {BSO} \approx 24^\circ \). Chọn A.

Câu 3:

Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AD\) và \(SC\) bằng

A. \(\frac{{2{\rm{a}}\sqrt 6 }}{3}\).

B. \(\frac{{{\rm{a}}\sqrt 6 }}{3}\).

C. \(a\sqrt 6 \).

D. \(a\sqrt 3 \).

Xem lời giải

Lời giải của GV VietJack

Vì \(AD\,{\rm{//}}\,BC\) nên

\(d\left( {AD,SC} \right) = d\left( {AD,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)\).

Ta có:

\(BC \bot AB\) (do \(ABCD\) là hình vuông).

\(SA \bot BC\) (do \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\)).

Suy ra \(BC \bot \left( {SAB} \right)\).

Trong tam giác \(SAB\), kẻ \(AH \bot SB\).

Mà \(BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH\).

\( \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH\).

Xét tam giác \(SAB\) vuông tại \(A\), có \(AH\) là đường cao: \(\frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{2a\sqrt 6 }}{3}\).

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC bằng \(\frac{{2{\rm{a}}\sqrt 6 }}{3}\). Chọn A.

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 70 đến 71

Cho một chất điểm chuyển động theo quy luật vận tốc \[v\left( t \right)\](đơn vị: \[{\rm{m/s}}\]) có đồ thị như hình vẽ bên. Trong đó đồ thị có dạng các đoạn thẳng tương ứng theo thời gian \[t\] giây khi \[0 \le t \le 3\] và \[8 \le t \le 15\], biết \[v\left( t \right)\] có dạng đường Parabol tương ứng thời gian \[t\] giây khi \[3 \le t \le 8\].

Vận tốc trung bình \({v_{tb}}\) của chất điểm trong thời gian \[t\] giây \[\left( {3 \le t \le 8} \right)\] là:

A. \(\frac{{57}}{2}\,\,{\rm{m/s}}\).

B. \(\frac{{23}}{3}\,\,{\rm{m/s}}\).

C. \[11\,\,{\rm{m/s}}\].

D. \(\frac{{115}}{{18}}\,\,{\rm{m/s}}\).

Lời giải

Gọi hàm vận tốc thời gian \(t\) giây \[\left( {3 \le t \le 8} \right)\]có dạng là \(\left( P \right):v\left( t \right) = a{t^2} + bt + c\).

\(\left( P \right)\) đi qua các điểm: \[\left( {3\,;11} \right)\]; \[\left( {5\,;3} \right)\]; \[\left( {8\,;21} \right)\] nên ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}9a + 3b + c = 11\\25a + 5b + c = 3\\64a + 8b + c = 21\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 20\\c = 53\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left( P \right):v\left( t \right) = 2{t^2} - 20t + 53\).

Quãng đường chất điểm đi được trong thời gian \(t\) giây \[\left( {3 \le t \le 8} \right)\] là:

\(S' = \int\limits_3^8 {\left( {2{t^2} - 20t + 53} \right)\,{\rm{d}}t = \frac{{115}}{3}} \,\,(m)\).

Vận tốc trung bình của chất điểm trong thời gian \[t\] giây \[\left( {3 \le t \le 8} \right)\] là:

\[\frac{{115}}{3}:\left( {8 - 3} \right) = \frac{{23}}{3}\] (\[{\rm{m/s}}\]). Chọn B.

Câu 2

Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 70 đến 71

Cho một chất điểm chuyển động theo quy luật vận tốc \[v\left( t \right)\](đơn vị: \[{\rm{m/s}}\]) có đồ thị như hình vẽ bên. Trong đó đồ thị có dạng các đoạn thẳng tương ứng theo thời gian \[t\] giây khi \[0 \le t \le 3\] và \[8 \le t \le 15\], biết \[v\left( t \right)\] có dạng đường Parabol tương ứng thời gian \[t\] giây khi \[3 \le t \le 8\].

Quãng đường mà chất điểm đi được trong khoảng thời gian \[7\] giây cuối \[\left( {8 \le t \le 15} \right)\] là:

A. \(147\,\,m\).

B. \(93,5\,\,m\).

C. \[77\,\,m\].

D. \(73,5\,\,m\).

Lời giải

Gọi hàm vận tốc thời gian \(7\) giây cuối \[\left( {8 \le t \le 15} \right)\] có dạng là \[\left( d \right):{\rm{ }}v\left( t \right) = {\rm{ }}at + b\].

Đường thẳng \[\left( d \right)\] đi qua hai điểm \[\left( {8\,;21} \right)\] và \[\left( {15\,;0} \right)\] nên ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}8a + b = 21\\15a + b = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 3\\b = 45\end{array} \right.\)\[ \Rightarrow \left( d \right):v\left( t \right) = - 3t + 45\].

Quãng đường chất điểm đi được trong thời gian \[7\] giây cuối \[\left( {8 \le t \le 15} \right)\] là:

\(S = \int\limits_8^{15} {v\left( t \right)dt} = \int\limits_8^{15} {\left( { - 3t + 45} \right)\,dt = 73,5\,\,(m)} \). Chọn D.

Câu 3