Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 76 đến 77

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{x}\).

Gọi \(G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\). Biết \(G\left( 2 \right) = 1\) và \(G\left( 5 \right) + G\left( { - 5} \right) = 0\). Khi đó tìm được \(G\left( { - 10} \right) = a\ln 10 + b\ln 5 + c\ln 2 + d\), với \(a,\,b,\,c\) là các số hữu tỷ. Khi đó giá trị của biểu thức \(a + b + c + d\) bằng    

Xét các biến cố:

A: “Lần thứ nhất lấy được quả bóng bàn loại II”;

B: “Lần thứ hai lấy được quả bóng bàn loại II”.

Xác suất để lần thứ nhất lấy được quả bóng bàn loại II là \(P\left( A \right) = \frac{2}{{20}} = \frac{1}{{10}}\). Chọn D.

Đặt \(0 < \alpha < \pi \) thỏa \(\cos \alpha = \frac{{2024}}{{2025}}.\) Khi đó,

\(\cos \left( {2018x} \right) = \frac{{2024}}{{2025}} \Leftrightarrow \cos \left( {2018x} \right) = \cos \alpha \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2018x = \alpha + k2\pi \\2018x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\alpha }{{2018}} + k\frac{\pi }{{1009}}\\x = - \frac{\alpha }{{2018}} + k\frac{\pi }{{1009}}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)

Với \(x \in \left( {0\,;\,2\pi } \right)\), ta có

+ Trường hợp 1: \(0 < \frac{\alpha }{{2018}} + k\frac{\pi }{{1009}} < 2\pi \Leftrightarrow - \frac{\alpha }{{2\pi }} < k < 2018 - \frac{\alpha }{{2\pi }} \Leftrightarrow 0 \le k \le 2017\)

(Vì \(0 < \alpha < \pi \Leftrightarrow \frac{0}{{2\pi }} < \frac{\alpha }{{2\pi }} < \frac{\pi }{{2\pi }} \Leftrightarrow 0 < \frac{\alpha }{{2\pi }} < \frac{1}{2}\)).

Nên có \(2018\) giá trị \(k.\)

+ Trường hợp 2: \(0 < - \frac{\alpha }{{2018}} + k\frac{\pi }{{1009}} < 2\pi \Leftrightarrow \frac{\alpha }{{2\pi }} < k < \frac{\alpha }{{2\pi }} + 2018 \Leftrightarrow 1 \le k \le 2018\).

Nên có \(2018\) giá trị \(k.\)

Dễ dàng thấy các nghiệm ở trường hợp 1 không trùng với nghiệm nào của trường hợp 2.

Vậy phương trình có \(4036\) nghiệm thực thuộc khoảng \(\left( {0\,;\,2\pi } \right)\). Chọn D.