Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 87 đến 90

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 12}}{4} = \frac{{y - 9}}{3} = \frac{{z - 1}}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình \(3x + 5y - z - 2 = 0\).

Tọa độ giao điểm \(A\) của của đường thẳng d với mặt phẳng \(\left( P \right)\) là:     

Hình chiếu \(d'\) của d trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) là giao tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt phẳng \(\left( Q \right)\), với \(\left( Q \right)\) đi qua d và vuông góc với \(\left( P \right)\). Như vậy, \(\left( Q \right)\) có vectơ pháp tuyến là:

\({\vec n_Q} = \left[ {{{\vec u}_d}\,,\,{{\vec n}_P}} \right] = \left( { - 8\,;\,7;\,11} \right)\).

Phương trình tổng quát của mặt phẳng \(\left( Q \right)\) là:

\( - 8\left( {x - 12} \right) + 7\left( {y - 9} \right) + 11\left( {z - 1} \right) = 0\) hay \(8x - 7y - 11z - 22 = 0\).

Vậy hình chiếu \(d'\) của d trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) là giao tuyến của mặt phẳng:

\(3x + 5y - z - 2 = 0\) và \(8x - 7y - 11z - 22 = 0\).

Đường thẳng \(d'\) có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 62t\\y = - 25t\\z = - 2 + 61t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\). Chọn D.

\(\left( P \right)\) là mặt phẳng trung trực của \(BB'\) khi và chỉ khi \(BB' \bot \left( P \right)\) và giao điểm của \(BB'\) với \(\left( P \right)\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BB'\).

Ta có phương trình đường thẳng \(BB'\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 5t\\z = - 1 - t\end{array} \right.\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).

Gọi H là giao điểm của \(BB'\) với \(\left( P \right)\) thì tọa độ \(\left( {x\,;\,y\,;z} \right)\) của H thỏa mãn hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 5t\\z = - 1 - t\\3x + 5y - z - 2 = 0\end{array} \right. \Rightarrow t = - \frac{2}{{35}} \Rightarrow H\left( {\frac{{29}}{{35}}\,;\, - \frac{2}{7};\, - \frac{{33}}{{35}}} \right)\).

H là trung điểm của \(BB'\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{B'}} = 2{x_H} - {x_B} = \frac{{23}}{{35}}\\{y_{B'}} = 2{y_H} - {y_B} = - \frac{4}{7}\\{z_{B'}} = 2{z_H} - {z_B} = - \frac{{31}}{{35}}\end{array} \right. \Rightarrow B'\left( {\frac{{23}}{{35}};\, - \frac{4}{7};\, - \frac{{31}}{{35}}} \right)\). Chọn A.

Đường thẳng \(\Delta \) phải tìm nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\), đồng thời nằm trong mặt phẳng \(\left( R \right)\) đi qua \(A\left( {0\,;\,0\,;\, - 2} \right)\) và vuông góc với d.

Mặt phẳng \(\left( R \right)\) có vectơ pháp tuyến \({\vec n_R} = \left( {4\,;\,3\,;\,1} \right)\) nên có phương trình \(4x + 3y + z + 2 = 0\).

Vậy \(\Delta \) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(3x + 5y - z - 2 = 0\) và \(4x + 3y + z + 2 = 0\), suy ra \(\Delta \) có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 8t\\y = - 7t\\z = - 2 - 11t\end{array} \right.\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\). Chọn B.