Câu hỏi:

27/04/2025 77

Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 85 đến 87

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh bằng \(\sqrt 3 \). Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\), hình chiếu vuông góc của \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là trung điểm \(H\) của \(CI\). Biết góc giữa \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(45^\circ \).

Độ dài đoạn thẳng \(SH\) là:

A. \(\frac{{\sqrt {21} }}{2}\).

B. \(\frac{{\sqrt {21} }}{4}\).

C. \(\frac{{\sqrt {21} }}{8}\).

D. \(\sqrt {21} \).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hồ Chí Minh năm 2025 có đáp án (Đề 28) !!

Bắt đầu thi

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

c (ảnh 1)

Chọn hệ trục toạ độ \[Ixyz\], với \(I\) là gốc toạ độ; các điểm \(A,\,C\) lần lượt thuộc các tia \(Ix,\,Iy\); trục \(Iz\) song song với \(SH\) và \(S\) có cao độ dương.

\(CI\) là đường cao của tam giác đều \(ABC\) cạnh bằng \(\sqrt 3 \) suy ra \(CI = \sqrt 3 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{3}{2}\).

Khi đó ta có \(I\left( {0;0;0} \right)\), \(A\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};0;0} \right)\), \(B\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2};0;0} \right)\),

\(C\left( {0;\frac{3}{2};0} \right)\), \(H\left( {0;\frac{3}{4};0} \right)\). Suy ra \(AH = \sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^2} + {0^2}} = \frac{{\sqrt {21} }}{4}\).

Ta có \(AH\) là hình chiếu vuông góc của \(SA\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).

Góc giữa \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là góc giữa \(SA\) và \(AH\) và bằng \(\widehat {SAH} = 45^\circ \).

Do đó, tam giác \(SAH\) vuông cân tại \(H\) nên \(SH = AH = \frac{{\sqrt {21} }}{4}\). Chọn B.

Câu hỏi cùng đoạn

Câu 2:

Thể tích khối chóp \(S.ABC\) bằng

A. \(\frac{{3\sqrt 7 }}{{16}}\).

B. \(\frac{{9\sqrt 7 }}{{16}}\).

C. \(\frac{{3\sqrt 7 }}{8}\).

D. \(\frac{{9\sqrt 7 }}{8}\).

Xem lời giải

Lời giải của GV VietJack

Ta có \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SH.{S_{ABC}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{\sqrt {21} }}{4} \cdot \frac{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} \cdot \sqrt 3 }}{4} = \frac{{3\sqrt 7 }}{{16}}\). Chọn A.

Câu 3:

\(G\) là trọng tâm tam giác \(SBC\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(CG\) bằng

A. \(2\sqrt {231} \).

B. \(\sqrt {231} \).

C. \(\frac{{\sqrt {231} }}{{11}}\).

D. \(\frac{{\sqrt {231} }}{{22}}\).

Xem lời giải

Lời giải của GV VietJack

Ta có hình chiếu vuông góc của \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là trung điểm \(H\), \(SH = \frac{{\sqrt {21} }}{4}\) và \(H\left( {0;\frac{3}{4};0} \right)\) nên \(S\left( {0;\frac{3}{4};\frac{{\sqrt {21} }}{4}} \right)\).

Do \(G\) là trọng tâm tam giác \(SBC\) nên \(G\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{6};\frac{3}{4};\frac{{\sqrt {21} }}{{12}}} \right)\).

Đường thẳng \(SA\) đi qua điểm \(A\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};0;0} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AS} = \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2};\frac{3}{4};\frac{{\sqrt {21} }}{4}} \right)\).

Đường thẳng \(CG\) đi qua điểm \(C\left( {0;\frac{3}{2};0} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {CG} = \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{6}; - \frac{3}{4};\frac{{\sqrt {21} }}{{12}}} \right)\).

Ta có \(\left[ {\overrightarrow {AS} ,\overrightarrow {CG} } \right] = \left( {\frac{{\sqrt {21} }}{4};0;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\), \(\overrightarrow {AC} = \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2};\frac{3}{2};0} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {AS} ,\overrightarrow {CG} } \right] \cdot \overrightarrow {AC} = - \frac{{3\sqrt 7 }}{8}\).

Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(CG\) là:

\(d\left( {SA,\,CG} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AS} ,\overrightarrow {CG} } \right] \cdot \overrightarrow {AC} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AS} ,\overrightarrow {CG} } \right]} \right|}} = \frac{{\frac{{3\sqrt 7 }}{8}}}{{\frac{{\sqrt {33} }}{4}}} = \frac{{\sqrt {231} }}{{22}}\). Chọn D.

Bình luận

Câu 1:

Nếu trong vườn ươm nói trên, cây vú sữa thấp nhất có chiều cao \(71\,cm\) và cây vú sữa cao nhất có chiều cao \(117\,cm\) thì khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho lớn hơn khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc là:

A. \(0\)cm.

B. \(8\)cm.

C. \(6\)cm.

D. \(4\)cm.

Xem đáp án » 27/04/2025 410

Câu 2:

Xác suất để cả hai bạn lọt vào vòng chung kết là:

A. \(0,8\).

B. \(0,52\).

C. \(0,2\).

D. \(0,48\).

Xem đáp án » 27/04/2025 299

Câu 3:

Tính thời gian cần dùng để sạc đầy pin (từ 0% lên 100%).

A. 1 giờ 20 phút.

B. 1 giờ 30 phút.

C. 1 giờ 40 phút.

D. 2 giờ.

Xem đáp án » 27/04/2025 292

Câu 4:

Khi đó, giá trị của \(a\) là:

A. \(a = \frac{1}{5}\).

B. \(a = - \frac{1}{5}\).

C. \(a = \frac{1}{{25}}\).

D. \(a = - \frac{1}{{25}}\).

Xem đáp án » 27/04/2025 235

Câu 5:

Địa phương nào đã trở thành chiến trường ác liệt giữa Việt Nam và Trung Quốc trong giai đoạn 1984-1989?

A. Mốc Hóa (Long An).

B. Tân Châu (Tây Ninh).

C. Vị Xuyên (Hà Giang).

D. Châu Đốc (An Giang).

Xem đáp án » 27/04/2025 166

Câu 6:

Điểm \(I\left( {x;y;z} \right)\) thỏa mãn \(2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \vec 0,\) khi đó giá trị của biểu thức \(2x + y + z\) là:

A. \(\frac{{28}}{3}\).

B. \(\frac{4}{3}\).

C. \(4\).

D. \(2\).

Xem đáp án » 27/04/2025 157

Câu 7:

Tốc độ tăng trưởng của loại cây công nghiệp lâu năm nào tăng nhanh nhất trong giai đoạn 2010 – 2021?

A. Cà phê.

Β. Cao su.

C. Hồ tiêu.

D. Điều.

Xem đáp án » 27/04/2025 155