Câu hỏi:
27/04/2025 36
Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 85 đến 87
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh bằng \(\sqrt 3 \). Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\), hình chiếu vuông góc của \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là trung điểm \(H\) của \(CI\). Biết góc giữa \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(45^\circ \).
Độ dài đoạn thẳng \(SH\) là:
Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 85 đến 87
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh bằng \(\sqrt 3 \). Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\), hình chiếu vuông góc của \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là trung điểm \(H\) của \(CI\). Biết góc giữa \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(45^\circ \).
Đáp án chính xác
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Chọn hệ trục toạ độ \[Ixyz\], với \(I\) là gốc toạ độ; các điểm \(A,\,C\) lần lượt thuộc các tia \(Ix,\,Iy\); trục \(Iz\) song song với \(SH\) và \(S\) có cao độ dương.
\(CI\) là đường cao của tam giác đều \(ABC\) cạnh bằng \(\sqrt 3 \) suy ra \(CI = \sqrt 3 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{3}{2}\).
Khi đó ta có \(I\left( {0;0;0} \right)\), \(A\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};0;0} \right)\), \(B\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2};0;0} \right)\),\(C\left( {0;\frac{3}{2};0} \right)\), \(H\left( {0;\frac{3}{4};0} \right)\). Suy ra \(AH = \sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^2} + {0^2}} = \frac{{\sqrt {21} }}{4}\).
Ta có \(AH\) là hình chiếu vuông góc của \(SA\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).
Góc giữa \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là góc giữa \(SA\) và \(AH\) và bằng \(\widehat {SAH} = 45^\circ \).
Do đó, tam giác \(SAH\) vuông cân tại \(H\) nên \(SH = AH = \frac{{\sqrt {21} }}{4}\). Chọn B.
Câu hỏi cùng đoạn
Câu 2:
Thể tích khối chóp \(S.ABC\) bằng
Đáp án chính xác
Lời giải của GV VietJack
Ta có \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SH.{S_{ABC}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{\sqrt {21} }}{4} \cdot \frac{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} \cdot \sqrt 3 }}{4} = \frac{{3\sqrt 7 }}{{16}}\). Chọn A.
Câu 3:
\(G\) là trọng tâm tam giác \(SBC\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(CG\) bằng
Đáp án chính xác
Lời giải của GV VietJack
Ta có hình chiếu vuông góc của \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là trung điểm \(H\), \(SH = \frac{{\sqrt {21} }}{4}\) và \(H\left( {0;\frac{3}{4};0} \right)\) nên \(S\left( {0;\frac{3}{4};\frac{{\sqrt {21} }}{4}} \right)\).
Do \(G\) là trọng tâm tam giác \(SBC\) nên \(G\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{6};\frac{3}{4};\frac{{\sqrt {21} }}{{12}}} \right)\).
Đường thẳng \(SA\) đi qua điểm \(A\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};0;0} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AS} = \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2};\frac{3}{4};\frac{{\sqrt {21} }}{4}} \right)\).
Đường thẳng \(CG\) đi qua điểm \(C\left( {0;\frac{3}{2};0} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {CG} = \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{6}; - \frac{3}{4};\frac{{\sqrt {21} }}{{12}}} \right)\).
Ta có \(\left[ {\overrightarrow {AS} ,\overrightarrow {CG} } \right] = \left( {\frac{{\sqrt {21} }}{4};0;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\), \(\overrightarrow {AC} = \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2};\frac{3}{2};0} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {AS} ,\overrightarrow {CG} } \right] \cdot \overrightarrow {AC} = - \frac{{3\sqrt 7 }}{8}\).
Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(CG\) là:
\(d\left( {SA,\,CG} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AS} ,\overrightarrow {CG} } \right] \cdot \overrightarrow {AC} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AS} ,\overrightarrow {CG} } \right]} \right|}} = \frac{{\frac{{3\sqrt 7 }}{8}}}{{\frac{{\sqrt {33} }}{4}}} = \frac{{\sqrt {231} }}{{22}}\). Chọn D.
Nhà sách vietjack
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 140.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 2:
Ta có \(d\left( {B,\left( P \right)} \right) - d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \sqrt k \). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Xem đáp án »
27/04/2025
32
🔥 Đề thi HOT:
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hồ Chí Minh năm 2025 có đáp án (Đề 1)
-
(2025) Đề thi thử Đánh giá năng lực ĐHQG Hồ Chí Minh năm 2025 có đáp án (Đề 1)
-
ĐGNL ĐHQG TP.HCM - Sử dụng ngôn ngữ Tiếng Việt - Chính tả
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hồ Chí Minh năm 2025 có đáp án (Đề 2)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hồ Chí Minh năm 2025 có đáp án (Đề 3)
-
(2025) Đề thi thử Đánh giá năng lực ĐHQG Hồ Chí Minh năm 2025 có đáp án (Đề 2)
-
(2025) Đề minh họa Đánh giá năng lực ĐHQG Hồ Chí Minh năm 2025 có đáp án ( Đề 8)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hồ Chí Minh năm 2025 có đáp án (Đề 4)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận