Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 85 đến 87
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh bằng \(\sqrt 3 \). Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\), hình chiếu vuông góc của \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là trung điểm \(H\) của \(CI\). Biết góc giữa \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(45^\circ \).
Độ dài đoạn thẳng \(SH\) là:
Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 85 đến 87
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh bằng \(\sqrt 3 \). Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\), hình chiếu vuông góc của \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là trung điểm \(H\) của \(CI\). Biết góc giữa \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(45^\circ \).
Câu hỏi trong đề: Đề thi ĐGNL ĐHQG Hồ Chí Minh (V-ACT) năm 2026-2027 (Đề 28) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Chọn hệ trục toạ độ \[Ixyz\], với \(I\) là gốc toạ độ; các điểm \(A,\,C\) lần lượt thuộc các tia \(Ix,\,Iy\); trục \(Iz\) song song với \(SH\) và \(S\) có cao độ dương.
\(CI\) là đường cao của tam giác đều \(ABC\) cạnh bằng \(\sqrt 3 \) suy ra \(CI = \sqrt 3 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{3}{2}\).
Khi đó ta có \(I\left( {0;0;0} \right)\), \(A\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};0;0} \right)\), \(B\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2};0;0} \right)\),\(C\left( {0;\frac{3}{2};0} \right)\), \(H\left( {0;\frac{3}{4};0} \right)\). Suy ra \(AH = \sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^2} + {0^2}} = \frac{{\sqrt {21} }}{4}\).
Ta có \(AH\) là hình chiếu vuông góc của \(SA\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).
Góc giữa \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là góc giữa \(SA\) và \(AH\) và bằng \(\widehat {SAH} = 45^\circ \).
Do đó, tam giác \(SAH\) vuông cân tại \(H\) nên \(SH = AH = \frac{{\sqrt {21} }}{4}\). Chọn B.
Câu hỏi cùng đoạn
Câu 2:
Thể tích khối chóp \(S.ABC\) bằng
Giải bởi Vietjack
Ta có \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SH.{S_{ABC}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{\sqrt {21} }}{4} \cdot \frac{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} \cdot \sqrt 3 }}{4} = \frac{{3\sqrt 7 }}{{16}}\). Chọn A.
Câu 3:
\(G\) là trọng tâm tam giác \(SBC\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(CG\) bằng
Giải bởi Vietjack
Ta có hình chiếu vuông góc của \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là trung điểm \(H\), \(SH = \frac{{\sqrt {21} }}{4}\) và \(H\left( {0;\frac{3}{4};0} \right)\) nên \(S\left( {0;\frac{3}{4};\frac{{\sqrt {21} }}{4}} \right)\).
Do \(G\) là trọng tâm tam giác \(SBC\) nên \(G\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{6};\frac{3}{4};\frac{{\sqrt {21} }}{{12}}} \right)\).
Đường thẳng \(SA\) đi qua điểm \(A\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};0;0} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AS} = \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2};\frac{3}{4};\frac{{\sqrt {21} }}{4}} \right)\).
Đường thẳng \(CG\) đi qua điểm \(C\left( {0;\frac{3}{2};0} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {CG} = \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{6}; - \frac{3}{4};\frac{{\sqrt {21} }}{{12}}} \right)\).
Ta có \(\left[ {\overrightarrow {AS} ,\overrightarrow {CG} } \right] = \left( {\frac{{\sqrt {21} }}{4};0;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\), \(\overrightarrow {AC} = \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2};\frac{3}{2};0} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {AS} ,\overrightarrow {CG} } \right] \cdot \overrightarrow {AC} = - \frac{{3\sqrt 7 }}{8}\).
Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(CG\) là:
\(d\left( {SA,\,CG} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AS} ,\overrightarrow {CG} } \right] \cdot \overrightarrow {AC} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AS} ,\overrightarrow {CG} } \right]} \right|}} = \frac{{\frac{{3\sqrt 7 }}{8}}}{{\frac{{\sqrt {33} }}{4}}} = \frac{{\sqrt {231} }}{{22}}\). Chọn D.
Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Nếu trong vườn ươm nói trên, cây vú sữa thấp nhất có chiều cao \(71\,cm\) và cây vú sữa cao nhất có chiều cao \(117\,cm\) thì khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc là: \(117 - 71 = 46\) (cm).
Từ biểu đồ, ta có bảng tần số của mẫu số liệu ghép nhóm là:
|
Nhóm |
\(\left[ {70;80} \right)\) |
\(\left[ {80;90} \right)\) |
\(\left[ {90;100} \right)\) |
\(\left[ {100;110} \right)\) |
\(\left[ {110;120} \right)\) |
|
Tần số |
9 |
20 |
33 |
25 |
15 |
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là: \(120 - 70 = 50\) (cm).
Do đó khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho lớn hơn khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc là \(50 - 46 = 4\) (cm). Chọn D.
Câu 2
Lời giải
Tập xác định của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\).
Ta có \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + x - 1}}{{x + 2}} = x - 1 + \frac{1}{{x + 2}}\).
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = - 2\), tiệm cận xiên là đường thẳng \(y = x - 1\).
Do đó tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm \(I\left( { - 2; - 3} \right)\). Chọn C.
Câu 3
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập