Số nghiệm thực của phương trình \({2^x} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} - 1\) là:    

Đổi: \(36\,{\rm{km/h}} = 10\,{\rm{m/s}}\); \(54\,{\rm{km/h}} = 15\,{\rm{m/s}}\).

Sau \(3\) giây khi phát hiện đèn tín hiệu, xe máy đi được quãng đường là: \(10 \cdot 3 = 30\) (m).

Sau đó, xe máy bắt đầu giảm tốc và quãng đường xe máy đi được từ lúc bắt đầu giảm tốc lần thứ nhất đến khi dừng hẳn tại vị trí đèn tín hiệu là: \(80 - 30 = 50\) (m).

Khi xe bắt đầu giảm tốc lần thứ nhất ta có: \({v_1}\left( 0 \right) = a \cdot 0 + b\, = 10\,\,{\rm{m/s}} \Rightarrow b = 10\).

Ta có \[{s_1}\left( t \right) = \int {{v_1}\left( t \right)dt} = \int {\left( {at + b} \right)dt} \,\, = \int {\left( {at + 10} \right)dt} \,\, = \frac{{a{t^2}}}{2} + 10t + {C_1}\,\,\left( {\rm{m}} \right)\].

Theo đề \[{s_1}\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow {C_1} = 0 \Rightarrow {s_1}\left( t \right)\, = \frac{{a{t^2}}}{2} + 10t\,\,\left( {\rm{m}} \right)\].

Khi xe dừng tại vị trí đèn tín hiệu thì thời gian đi được của xe kể từ khi giảm tốc lần thứ nhất là: \[{v_1}\left( t \right) = 0 \Rightarrow at + 10 = 0 \Rightarrow t = \frac{{ - 10}}{a}\,\,\left( {\rm{s}} \right)\].

Ta có: \[{s_1}\left( {\frac{{ - 10}}{a}} \right)\, = 50 \Rightarrow \frac{a}{2} \cdot {\left( {\frac{{ - 10}}{a}} \right)^2} + 10\left( {\frac{{ - 10}}{a}} \right) = 50 \Rightarrow a = - 1 < 0\] (thỏa mãn).

Do đó \[t = \frac{{ - 10}}{{ - 1}} = 10\,\,\left( {\rm{s}} \right)\]. Vậy xe máy dừng hẳn tại vị trí đèn tín hiệu sau \(10\) giây kể từ khi bắt đầu giảm tốc lần thứ nhất. Chọn A.

Ta có \(S = \frac{{{u_1} \cdot {u_2} + {u_2} \cdot {u_3} + {u_3} \cdot {u_4} + \ldots + {u_{2022}} \cdot {u_{2023}} + {u_{2023}} \cdot {u_{2024}}}}{{2024}}\)

\( \Leftrightarrow 2024 \cdot S = {u_1} \cdot {u_2} + {u_2} \cdot {u_3} + {u_3} \cdot {u_4} + \ldots + {u_{2023}} \cdot {u_{2024}}\)

\( \Leftrightarrow 2024 \cdot S = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \ldots + 2023 \cdot 2024\)

\( \Leftrightarrow 3 \cdot 2024 \cdot S = 1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 3 + 3 \cdot 4 \cdot 3 + \ldots + 2023 \cdot 2024 \cdot 3\)

\( \Leftrightarrow 3 \cdot 2024 \cdot S = 1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot \left( {4 - 1} \right) + 3 \cdot 4 \cdot \left( {5 - 2} \right) + \ldots + 2023 \cdot 2024 \cdot \left( {2025 - 2022} \right)\)

\( \Leftrightarrow 3 \cdot 2024 \cdot S = 1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 - 1 \cdot 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 \cdot 5 - 2 \cdot 3 \cdot 4 + \ldots + 2023 \cdot 2024 \cdot 2025 - 2022 \cdot 2023 \cdot 2024\)

\( \Leftrightarrow 3 \cdot 2024 \cdot S = 2023 \cdot 2024 \cdot 2025\)

\( \Leftrightarrow S = \frac{{4\,\,096\,\,575}}{3} = 1\,\,365\,\,525\). Chọn B.