Để đạt được lợi nhuận cao nhất, xưởng đã sản xuất \(a\) (đơn vị) sản phẩm A và \(b\) (đơn vị) sản phẩm B. Giá trị của \(a\) là          

Đáp án C

Hướng dẫn giải

Ràng buộc nguyên liệu: \(4a + 3b \le 150\)

Khi \(a = 0,3b = 150 \Rightarrow b = 50\).

Khi \(b = 0,4a = 150 \Rightarrow a = 37,5\) (Làm tròn xuống \(a = 37\)).

Do đó, đồ thị của \(4a + 3b = 150\) cắt trục a tại \(\left( {37,0} \right)\) và cắt trục \(b\) tại \(\left( {0,50} \right)\).

Ràng buộc lao động: \(2a + 4b \le 120\).

Khi \(a = 0,4b = 120 \Rightarrow b = 30\).

Khi \(b = 0,2a = 120 \Rightarrow a = 60\).

Do đó, đồ thị của \(2a + 4b = 120\) cắt trục \(a\) tại \(\left( {60,0} \right)\) và cắt trục \(b\) tại \(\left( {0,30} \right)\).

Giải hệ phương trình để tìm điểm giao: \(\left\{ \begin{array}{l}4a + 3b = 150\\2a + 4b = 120\end{array} \right.\).

Suy ra: \(\left( {4a + 8b} \right) - \left( {4a + 3b} \right) = 240 - 150 \Rightarrow 5b = 90 \Rightarrow b = 18\).

Thay \(b = 18\) vào phương trình \(4a + 3b = 150\):

\(4a + 3\left( {18} \right) = 150 \Rightarrow 4a + 54 = 150 \Rightarrow 4a = 96 \Rightarrow a = 24\).

Vậy điểm giao của các ràng buộc là \(\left( {24,18} \right)\).

Tại điểm \(\left( {0;50} \right)\): Lợi nhuận \( = 70000\left( 0 \right) + 50000\left( {50} \right) = 2500000\) đồng.

Tại điểm \(\left( {37,0} \right)\): Lợi nhuận \( = 70000\left( {37} \right) + 50000\left( 0 \right) = 2590000\) đồng.

Tại điểm \(\left( {24,18} \right)\): Lợi nhuận \( = 70000\left( {24} \right) + 50000\left( {18} \right) = 1680000 + 900000 = 2580000\) đồng.

Lợi nhuận lớn nhất là tại điểm \(\left( {37,0} \right)\) với lợi nhuận là 2590000 đồng.