Một trục lăn có dạng hình trụ nằm ngang (như hình vẽ), hình trụ có diện tích một đáy S = 25π cm² và chiều cao h = 10 cm. Nếu trục lăn đủ 12 vòng thì diện tích tạo trên sân phẳng là bao nhiêu?

Đáp án đúng là: A

Thể tích hình trụ ban đầu là: V = πr²h = 80π (cm³).

Diện tích phần đáy hình quạt của phần hình bị cắt OABB'A'O' là

S = \[\frac{{\pi {r^2}n}}{{360}} = \frac{{\pi .16.45}}{{360}} = 2\pi \] (cm²).

Thể tích phần hình bị cắt OABB'A'O' là V = 2π.5 = 10π (cm³).

Do đó, thể tích của phần còn lại là: 80π – 10π = 70π (cm³).

Đáp án đúng là: B

Xét ∆HAC và ∆HBA, có:

\[\widehat {AHC} = \widehat {AHB} = 90^\circ \] (gt)

\[\widehat {ACH} = \widehat {HAB}\] (cùng phụ với góc CAH)

Suy ra ∆HAC ᔕ ∆HBA (g.g)

Do đó, HC.HB = AH² hay HB.HC = 12² = 144 (1)

Lại có HB + HC = BC nên HB + HC = 25 (2)

Từ (1) và (2) tính được HB = 9 cm và HC = 16 cm (Do AB < AC nên HB < HC).

Xét tam giác AHB vuông tại H có HD ⊥ AB nên ta chứng minh được

∆HAD ᔕ ∆BHD (g.g)

Suy ra \[\frac{{HD}}{{BD}} = \frac{{HA}}{{BH}} = \frac{{AD}}{{HD}}\] (tỉ lệ các cạnh tương ứng).

Áp dụng đinhk lý Pythagore vào tam giác HAB vuông tại H, ta có:

AH² + HB² = AB² nên AB² = 12² + 9² suy ra AB² = 225 và AB = 15 cm.

Có tam giác AHB vuông tại H nên S_AHB = \[\frac{1}{2}\]AH.HB = \[\frac{1}{2}\]HD.AB,

Suy ra AH.HB = HD.AB nên HD = \[\frac{{AH.HB}}{{AB}} = \frac{{12.9}}{{15}} = \frac{{36}}{5}\] cm.

Do đó, HD = \[\frac{{36}}{5}\] cm.

Tương tự, tính được HE = \[\frac{{48}}{5}\] cm nên AD = \[\frac{{48}}{5}\] cm.

Khi quay hình chữ nhật ADHE quanh AD ta được hình trụ có chiều cao AD, bán kính đáy HD nên S_xq = 2π.HD.AD = \[\frac{{3456}}{{25}}\pi \] (cm²).