Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O; R) đường kính BC. Vẽ đường cao AH của tam giác ABC. Đường tròn tâm K đường kính AH cắt AB, AC lần lượt tại D và E. Biết BC = 25 cm và AH = 12 cm. Hãy tính diện tích xung quanh của hình tạo bởi khi cho tứ giác ADHE quay quanh AD.

Đáp án đúng là: B

Xét ∆HAC và ∆HBA, có:

\[\widehat {AHC} = \widehat {AHB} = 90^\circ \] (gt)

\[\widehat {ACH} = \widehat {HAB}\] (cùng phụ với góc CAH)

Suy ra ∆HAC ᔕ ∆HBA (g.g)

Do đó, HC.HB = AH² hay HB.HC = 12² = 144 (1)

Lại có HB + HC = BC nên HB + HC = 25 (2)

Từ (1) và (2) tính được HB = 9 cm và HC = 16 cm (Do AB < AC nên HB < HC).

Xét tam giác AHB vuông tại H có HD ⊥ AB nên ta chứng minh được

∆HAD ᔕ ∆BHD (g.g)

Suy ra \[\frac{{HD}}{{BD}} = \frac{{HA}}{{BH}} = \frac{{AD}}{{HD}}\] (tỉ lệ các cạnh tương ứng).

Áp dụng đinhk lý Pythagore vào tam giác HAB vuông tại H, ta có:

AH² + HB² = AB² nên AB² = 12² + 9² suy ra AB² = 225 và AB = 15 cm.

Có tam giác AHB vuông tại H nên S_AHB = \[\frac{1}{2}\]AH.HB = \[\frac{1}{2}\]HD.AB,

Suy ra AH.HB = HD.AB nên HD = \[\frac{{AH.HB}}{{AB}} = \frac{{12.9}}{{15}} = \frac{{36}}{5}\] cm.

Do đó, HD = \[\frac{{36}}{5}\] cm.

Tương tự, tính được HE = \[\frac{{48}}{5}\] cm nên AD = \[\frac{{48}}{5}\] cm.

Khi quay hình chữ nhật ADHE quanh AD ta được hình trụ có chiều cao AD, bán kính đáy HD nên S_xq = 2π.HD.AD = \[\frac{{3456}}{{25}}\pi \] (cm²).