Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hình lập phương \(OBCD.O'B'C'D'\) có cạnh bằng \(9\) sao cho điểm \(D\) thuộc tia \[Ox\], điểm \(B\) thuộc tia \(Oy\) và điểm \(O'\) thuộc tia \(Oz\). Điểm \(M\) thuộc cạnh \(O'B'\) sao cho \(O'B' = 3O'M\). Một con kiến bò từ vị trí \(M\) qua sáu mặt của hình lập phương đã cho rồi quay lại vị trí điểm \(M\) sao cho quãng đường đi được của con kiến là ngắn nhất. Hỏi với cách bò như vậy, con kiến đã bò qua bao nhiêu điểm mà điểm đó có hoành độ, tung độ và cao độ là các số nguyên dương?

Vì nền nhà là hình chữ nhật nên tứ giác \(OABC\) là hình chữ nhật, suy ra \({x_A} = {x_B} = 4\).

Do \(A\) nằm trên trục \(Ox\) nên toạ độ điểm \(A\) là \(\left( {4;0;0} \right)\).

Tường nhà là hình chữ nhật nên tứ giác \(OCHE\) là hình chữ nhật, suy ra \({y_H} = {y_C} = 5;{z_H} = {z_E} = 3\).

Do \(H\) nằm trên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) nên toạ độ điểm \(H\) là \(\left( {0;5;3} \right)\).

Để tính góc dốc của mái nhà, ta đi tính số đo của góc nhị diện có cạnh là đường thẳng \(FG\), hai mặt lần lượt là \(\left( {FGQP} \right)\)và \(\left( {FGHE} \right)\). Do mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) vuông góc với hai mặt phẳng \(\left( {FGQP} \right)\)và \(\left( {FGHE} \right)\) nên \(\widehat {PFE}\)  là góc phẳng nhị diện ứng với góc nhị diện đó.

Ta có \(\overrightarrow {FP}  = \left( { - 2\,;0\,;\,1} \right),\,\,\overrightarrow {FE}  = \left( { - 4;0\,;\,0} \right)\).

Suy ra \(\cos \widehat {PFE} = \cos \left( {\overrightarrow {FP} ,\overrightarrow {FE} } \right) = \frac{{\overrightarrow {FP}  \cdot \overrightarrow {FE} }}{{\left| {\overrightarrow {FP} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {FE} } \right|}}\)\( = \frac{{\left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 4} \right) + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0}}{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {0^2} + {1^2}}  \cdot \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).

Do đó, \(\widehat {PFE} = 26,6^\circ \). Vậy góc dốc của mái nhà khoảng \(26,6^\circ \).

Ta có \(\overrightarrow {PQ}  = \left( {0\,;\,5\,;\,0} \right),\,\,\overrightarrow {PE}  = \left( { - 2\,;\,0\,; - 1} \right)\).

Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {PQHE} \right)\) là \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {PQ} ,\overrightarrow {PE} } \right] = \left( { - 5\,;\,0\,;\,10} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( {PQHE} \right)\) là \( - x + 2z - 6 = 0\).

Vậy độ dài tối thiểu của sợi dây điện bằng khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {PQHE} \right)\):

\(d\left( {A,\,\left( {PQHE} \right)} \right) = \frac{{\left| { - 4 - 6} \right|}}{{\sqrt 5 }} = 2\sqrt 5  \approx 4,47 > 4,4\).

Đáp án:       a) Đúng,      b) Đúng,     c) Đúng,      d) Sai.

Ta xét hệ: \(\left\{ \begin{array}{l} - 2 =  - 2t\\2 = 1 + t\\ - 1 = 2 - 3t\end{array} \right.\; \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\t = 1\\t = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow t = 1\). Do đó \[M \in {d_2}\].

Ta có \({\vec u_1} = \left( { - 1;2;3} \right)\) và \({\vec u_2} = \left( { - 2;1; - 3} \right)\) lần lượt là hai vectơ chỉ phương của \({d_1}\) và \({d_2}\).

Thấy \[{\vec u_1} \cdot {\vec u_2} = 2 + 2 - 9 =  - 5 \ne 0\] nên hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\)  không vuông góc với nhau.

Ta có \[\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \left| {\cos \left( {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right)} \right| = \frac{{\left| {{{\vec u}_1} \cdot {{\vec u}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec u}_1}} \right| \cdot \left| {{{\vec u}_2}} \right|}} = \frac{{\left| { - 5} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {3^2}}  \cdot \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{5}{{14}}\].

Ta có \[\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 9; - 9;3} \right) \ne \overrightarrow 0 \].

Lấy \(A\left( {3; - 1;1} \right) \in {d_1},\,\,B\left( {0;1;2} \right) \in {d_2} \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( { - 3;2;1} \right)\).

Do \[\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \cdot \overrightarrow {AB}  = 27 - 18 + 3 \ne 0\] nên hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) chéo nhau.

Đáp án:       a) Đúng,      b) Sai,         c) Sai,          d) Sai.