Trong chương trình trại hè 2024 – 2025 một nhóm học sinh trường THPT X được giao làm 1 trại hè như hình vẽ. Để trang trí trại cần lắp 1 bóng đèn màu ở vị trí đỉnh trại \(O\). Đặt ổ điện nằm trên mặt đất, hỏi độ dài đoạn dây điện ngắn nhất từ ổ điện đến bóng đèn là bao nhiêu để tiết kiệm chi phí. Biết \(OA\), \(OB\), \(OC\) đôi một vuông góc với nhau.

Vì nền nhà là hình chữ nhật nên tứ giác \(OABC\) là hình chữ nhật, suy ra \({x_A} = {x_B} = 4\).

Do \(A\) nằm trên trục \(Ox\) nên toạ độ điểm \(A\) là \(\left( {4;0;0} \right)\).

Tường nhà là hình chữ nhật nên tứ giác \(OCHE\) là hình chữ nhật, suy ra \({y_H} = {y_C} = 5;{z_H} = {z_E} = 3\).

Do \(H\) nằm trên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) nên toạ độ điểm \(H\) là \(\left( {0;5;3} \right)\).

Để tính góc dốc của mái nhà, ta đi tính số đo của góc nhị diện có cạnh là đường thẳng \(FG\), hai mặt lần lượt là \(\left( {FGQP} \right)\)và \(\left( {FGHE} \right)\). Do mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) vuông góc với hai mặt phẳng \(\left( {FGQP} \right)\)và \(\left( {FGHE} \right)\) nên \(\widehat {PFE}\)  là góc phẳng nhị diện ứng với góc nhị diện đó.

Ta có \(\overrightarrow {FP}  = \left( { - 2\,;0\,;\,1} \right),\,\,\overrightarrow {FE}  = \left( { - 4;0\,;\,0} \right)\).

Suy ra \(\cos \widehat {PFE} = \cos \left( {\overrightarrow {FP} ,\overrightarrow {FE} } \right) = \frac{{\overrightarrow {FP}  \cdot \overrightarrow {FE} }}{{\left| {\overrightarrow {FP} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {FE} } \right|}}\)\( = \frac{{\left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 4} \right) + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0}}{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {0^2} + {1^2}}  \cdot \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).

Do đó, \(\widehat {PFE} = 26,6^\circ \). Vậy góc dốc của mái nhà khoảng \(26,6^\circ \).

Ta có \(\overrightarrow {PQ}  = \left( {0\,;\,5\,;\,0} \right),\,\,\overrightarrow {PE}  = \left( { - 2\,;\,0\,; - 1} \right)\).

Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {PQHE} \right)\) là \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {PQ} ,\overrightarrow {PE} } \right] = \left( { - 5\,;\,0\,;\,10} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( {PQHE} \right)\) là \( - x + 2z - 6 = 0\).

Vậy độ dài tối thiểu của sợi dây điện bằng khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {PQHE} \right)\):

\(d\left( {A,\,\left( {PQHE} \right)} \right) = \frac{{\left| { - 4 - 6} \right|}}{{\sqrt 5 }} = 2\sqrt 5  \approx 4,47 > 4,4\).

Đáp án:       a) Đúng,      b) Đúng,     c) Đúng,      d) Sai.

Ta có hình vẽ sau:

Giả sử con kiến bò theo đường \(MNPQRSM\).

Ta trải phẳng các mặt của hình lập phương và minh họa đường đi ngắn nhất của con kiến như hình sau:

Gắn hệ trục \(O'xy\) như hình vẽ. Do độ dài cạnh hình lập phương là \(9\) và \(O'M = \frac{1}{3}O'B' = 3\) nên trong hệ trục tọa độ này, ta có đường thẳng \(d\) minh họa đường đi ngắn nhất của con kiến đi qua các điểm có tọa độ \(\left( {3;0} \right)\), \(\left( {30;27} \right)\).

Phương trình đường thẳng \(d\): \(y = x - 3\).

Các đoạn thẳng \(MN,PQ,RS\) lần lượt thuộc các mặt phẳng tọa độ \(\left( {yOz} \right),\left( {xOy} \right),\left( {xOz} \right)\) nên trong không gian, tọa độ của các điểm thuộc các đoạn thẳng này không thỏa yêu cầu bài toán (hoành độ, tung độ và cao độ là các số nguyên dương).

Vậy ta chỉ cần đếm tổng số điểm có tọa độ nguyên dương thuộc các đoạn thẳng \(NP,QR,SM\)(không tính các đầu mút) trong hệ tọa độ \(O'xy\).

Xét đoạn \(NP\):

Điểm \(I\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in NP\) và có tọa độ là các số nguyên dương khi \(\left\{ \begin{array}{l}9 < {x_0} < 12\\{x_0} \in \mathbb{N}\end{array} \right. \Rightarrow {x_0} &  \in \left\{ {10;11} \right\}\). Trường hợp này có 2 điểm.

Hai trường hợp còn lại tương tự.

Kết luận: có tất cả \(6\) điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án: \(6\).