Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho ba điểm \[A\left( {1;1;1} \right)\], \[B\left( { - 2;1;0} \right)\] và \[C\left( {2; - 3;1} \right)\]. Điểm \(S\left( {a;b;c} \right) \in \left( {Oyz} \right)\) sao cho \(P = S{A^2} + S{B^2} + 3S{C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức \(T = a - 5b + 5c\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Gọi \(I\) là điểm sao cho \[\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \Rightarrow I\left( {1; - \frac{7}{5};\frac{4}{5}} \right)\].
Ta có \[P = S{A^2} + S{B^2} + 3S{C^2} = {\overrightarrow {SA} ^2} + {\overrightarrow {SB} ^2} + 3{\overrightarrow {SC} ^2}\]
\[ = {\left( {\overrightarrow {SI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {SI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} + 3{\left( {\overrightarrow {SI} + \overrightarrow {IC} } \right)^2} = 5S{I^2} + I{A^2} + I{B^2} + 3I{C^2}\].
Do các điểm \(A,B,C,I\) xác định nên \[P = S{A^2} + S{B^2} + 3S{C^2}\] đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi \(SI\) nhỏ nhất hay \(S\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(I\) trên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\). Do đó \(S\left( {0; - \frac{7}{5};\frac{4}{5}} \right).\)
Vậy \(T = a - 5b + 5c = 0 - 5 \cdot \left( { - \frac{7}{5}} \right) + 5 \cdot \frac{4}{5} = 11\).
Đáp án: \(11\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Ta có hình vẽ sau:
Giả sử con kiến bò theo đường \(MNPQRSM\).
Ta trải phẳng các mặt của hình lập phương và minh họa đường đi ngắn nhất của con kiến như hình sau:
Gắn hệ trục \(O'xy\) như hình vẽ. Do độ dài cạnh hình lập phương là \(9\) và \(O'M = \frac{1}{3}O'B' = 3\) nên trong hệ trục tọa độ này, ta có đường thẳng \(d\) minh họa đường đi ngắn nhất của con kiến đi qua các điểm có tọa độ \(\left( {3;0} \right)\), \(\left( {30;27} \right)\).
Phương trình đường thẳng \(d\): \(y = x - 3\).
Các đoạn thẳng \(MN,PQ,RS\) lần lượt thuộc các mặt phẳng tọa độ \(\left( {yOz} \right),\left( {xOy} \right),\left( {xOz} \right)\) nên trong không gian, tọa độ của các điểm thuộc các đoạn thẳng này không thỏa yêu cầu bài toán (hoành độ, tung độ và cao độ là các số nguyên dương).
Vậy ta chỉ cần đếm tổng số điểm có tọa độ nguyên dương thuộc các đoạn thẳng \(NP,QR,SM\)(không tính các đầu mút) trong hệ tọa độ \(O'xy\).
Xét đoạn \(NP\):
Điểm \(I\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in NP\) và có tọa độ là các số nguyên dương khi \(\left\{ \begin{array}{l}9 < {x_0} < 12\\{x_0} \in \mathbb{N}\end{array} \right. \Rightarrow {x_0} & \in \left\{ {10;11} \right\}\). Trường hợp này có 2 điểm.
Hai trường hợp còn lại tương tự.
Kết luận: có tất cả \(6\) điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án: \(6\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Mặt phẳng \[\left( {Oxz} \right)\]: \[y = 0\].
Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng \[\left( {Oxz} \right)\] là \[d\left( {A,\left( {Oxz} \right)} \right) = \left| {{y_A}} \right| = 2\]. Chọn D.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. \(\frac{{9\sqrt {62} }}{{62}}\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập