Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 3}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{3}\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 2t\\y = 1 + t\\z = 2 - 3t\end{array} \right.\;\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).

a) Điểm \(M\left( { - 2;2; - 1} \right)\) nằm trên đường thẳng \({d_2}\).

b) Hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\)vuông góc với nhau.

c) Côsin của góc giữa hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) bằng \( - \frac{5}{{14}}\).

d) Hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) cắt nhau.

Ta xét hệ: \(\left\{ \begin{array}{l} - 2 =  - 2t\\2 = 1 + t\\ - 1 = 2 - 3t\end{array} \right.\; \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\t = 1\\t = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow t = 1\). Do đó \[M \in {d_2}\].

Ta có \({\vec u_1} = \left( { - 1;2;3} \right)\) và \({\vec u_2} = \left( { - 2;1; - 3} \right)\) lần lượt là hai vectơ chỉ phương của \({d_1}\) và \({d_2}\).

Thấy \[{\vec u_1} \cdot {\vec u_2} = 2 + 2 - 9 =  - 5 \ne 0\] nên hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\)  không vuông góc với nhau.

Ta có \[\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \left| {\cos \left( {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right)} \right| = \frac{{\left| {{{\vec u}_1} \cdot {{\vec u}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec u}_1}} \right| \cdot \left| {{{\vec u}_2}} \right|}} = \frac{{\left| { - 5} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {3^2}}  \cdot \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{5}{{14}}\].

Ta có \[\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 9; - 9;3} \right) \ne \overrightarrow 0 \].

Lấy \(A\left( {3; - 1;1} \right) \in {d_1},\,\,B\left( {0;1;2} \right) \in {d_2} \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( { - 3;2;1} \right)\).

Do \[\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \cdot \overrightarrow {AB}  = 27 - 18 + 3 \ne 0\] nên hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) chéo nhau.

Đáp án:       a) Đúng,      b) Sai,         c) Sai,          d) Sai.