Đề ôn luyện Toán theo Chủ đề 1. Phương trình và bất phương trình (Đề số 1)

Ta có \[\sin x = \sin \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\].

Vì \[x \in \left[ {0;\pi } \right] \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6}\\x = \frac{{5\pi }}{6}\end{array} \right. \Rightarrow \frac{\pi }{6} + \frac{{5\pi }}{6} = \pi \]. Chọn B.

Phương trình \[\sin \left( {2024x - \frac{\pi }{{2055}}} \right) - m = 2026\]\( \Leftrightarrow \sin \left( {2024x - \frac{\pi }{{2055}}} \right) = m + 2026\).

Nên phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \( - 1 \le m + 2026 \le 1 \Leftrightarrow - 2027 \le m \le - 2025\).

Vậy có \(3\) số nguyên \(m\) thỏa mãn. Chọn C.

Ta có \(\sin \left( {2x - \frac{{3\pi }}{4}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\)\( \Leftrightarrow \sin \left( {2x - \frac{{3\pi }}{4}} \right) = \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - \frac{{3\pi }}{4} = x + \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{2x - \frac{{3\pi }}{4} = \frac{{3\pi }}{4} - x + k2\pi }\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \pi + k2\pi }\\{x = \frac{\pi }{2} + k\frac{{2\pi }}{3}}\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.\).

Vì\({\rm{ }}x \in \left( {0\,;\,2\pi } \right){\rm{ n\^e n }}x \in \left\{ {\pi \,;\,\frac{\pi }{2};\,\frac{{7\pi }}{6};\frac{{11\pi }}{6}} \right\}\).

Vậy phương trình có bốn nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0\,;\,2\pi } \right)\). Chọn B.

Ta có \(\sin x + \sin 2x = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = - \sin x \Leftrightarrow \sin 2x = \sin \left( { - x} \right)\)

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = - x + k2\pi \\2x = \pi + x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{k2\pi }}{3}\\x = \pi + k2\pi \end{array} \right.,\,k \in \mathbb{Z}.\]

Trên đoạn \(\left[ {0\,;\,2\pi } \right]\) phương trình có các nghiệm \[0,\,\frac{{2\pi }}{3},\,\frac{{4\pi }}{3},\,2\pi ,\,\pi \].

Suy ra tổng các nghiệm là \[5\pi .\] Chọn B.

Ta có \({4^{x - 1}} = {8^{3 - 2x}} \Leftrightarrow {2^{2x - 2}} = {2^{9 - 6x}} \Leftrightarrow 2x - 2 = 9 - 6x\)\( \Leftrightarrow 8x = 11\)\( \Leftrightarrow x = \frac{{11}}{8}\). Chọn A.

Ta có \[{3^{{x^2} + 1}} = 9 \Leftrightarrow {3^{{x^2} + 1}} = {3^2} \Leftrightarrow {x^2} + 1 = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\]. Chọn B.

Điều kiện \[\left\{ \begin{array}{l}0 < x \ne 1\\x > \frac{6}{7}\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{6}{7} < x \ne 1\,\,\left( * \right)\].

Phương trình \[\left( {2{x^2} - 5x + 2} \right)\left[ {{{\log }_x}\left( {7x - 6} \right) - 2} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2{x^2} - 5x + 2 = 0\,\\{\log _x}\left( {7x - 6} \right) - 2 = 0\end{array} \right.\,\].

+ Phương trình \[2{x^2} - 5x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\]. Kết hợp với điều kiện \[\left( * \right) \Rightarrow x = 2\].

+ Phương trình \[{\log _x}\left( {7x - 6} \right) - 2 = 0 \Leftrightarrow 7x - 6 = {x^2} \Leftrightarrow {x^2} - 7x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 6\end{array} \right.\].

Kết hợp với điều kiện \[\left( * \right) \Rightarrow x = 6\].

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm \[x = 2;\,\,x = 6\] suy ra tổng các nghiệm bằng \[8\]. Chọn C.