Cho phương trình lượng giác \(2\sin \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) + \sqrt 3  = 0\).

a) Phương trình có nghiệm \[x =  - \frac{\pi }{9} + k\frac{{2\pi }}{3},\,\,k \in \mathbb{Z}\].

b) Phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng \( - \frac{{2\pi }}{9}\).

c) Trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\), phương trình đã cho có 3 nghiệm.

d) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) bằng \(\frac{{7\pi }}{9}\).

Ta có \(2\sin \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) + \sqrt 3 = 0\)\( \Leftrightarrow \sin \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + \frac{\pi }{3} = - \frac{\pi }{3} + k2\pi }\\{3x + \frac{\pi }{3} = \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi }\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\\{3x = \pi + k2\pi }\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - \frac{{2\pi }}{9} + k\frac{{2\pi }}{3}}\\{x = \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3}}\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.\].

Dựa vào công thức nghiệm, ta có nghiệm âm lớn nhất bằng \( - \frac{{2\pi }}{9}.\)

Vì \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) nên \(x = \frac{\pi }{3},x = \frac{{4\pi }}{9}\).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\).

Tổng 2 nghiệm của phương trình trong khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) bằng \(\frac{{7\pi }}{9}.\)

Đáp án:           a) Sai,             b) Đúng,         c) Sai,              d) Đúng.