Biết rằng phương trình \[\tan x + \sqrt 3  = 0\] có nghiệm \(x =  - \frac{{a\pi }}{b} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right);\,\,a,b \in {\mathbb{N}^*};\,\,\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính \(2a + 3b\).

Ta có \(\sin \left( {{\rm{cos}}x} \right) = 0 \Leftrightarrow {\rm{cos}}x = k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Mà $-1\le \text{cos}x\le 1\Rightarrow -1\le k\pi \le 1\iff \frac{-1}{\pi }\le k\le \frac{1}{\pi }\stackrel{k\in \mathbb{Z}}{\to }k=0$.

 $\Rightarrow \text{cos}x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+m\pi \left(m\in \mathbb{Z}\right)\stackrel{x\in \left[1;2021\right]}{\to }\frac{1}{\pi }-\frac{1}{2}\le m\le \frac{2021}{\pi }-\frac{1}{2}$

$\stackrel{m\in \mathbb{Z}}{\to }m\in \left\{0;1;2;\mathrm{...};642\right\}$ \( \Rightarrow \)có \(643\) nghiệm thỏa mãn bài toán.

Đáp án: \(643\).

Ta có \({2^x} + {2^{x + 1}} \le {3^x} + {3^{x - 1}} \Leftrightarrow {2^x} + 2 \cdot {2^x} \le {3^x} + \frac{1}{3}{3^x} \Leftrightarrow 3 \cdot {2^x} \le \frac{4}{3} \cdot {3^x}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{2^x}}}{{{3^x}}} \le \frac{4}{9} \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} \le {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} \Rightarrow x \ge 2\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left[ {2; + \infty } \right)\). Chọn D.