43 bài tập Phương trình và bất phương trình có lời giải

 $\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=1\iff x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ . Chọn C.

Ta có: \({2^{2x - 4}} = {2^x} \Leftrightarrow 2x - 4 = x \Leftrightarrow x = 4.\) Chọn C.

Điều kiện: \(x > 2\).

Phương trình tương đương với \(x - 2 = {3^2} \Leftrightarrow x = 11\) (thỏa mãn). Chọn A.

Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}3x - 2 > 0\\6 - 5x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \frac{2}{3}\\x < \frac{6}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{2}{3} < x < \frac{6}{5}.\)

Ta có: \({\log _2}\left( {3x - 2} \right) > {\log _2}\left( {6 - 5x} \right)\)\( \Leftrightarrow 3x - 2 > 6 - 5x \Leftrightarrow 8x > 8 \Leftrightarrow x > 1.\)

Kết hợp với điều kiện, ta được \(1 < x < \frac{6}{5}.\)

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( {1;\frac{6}{5}} \right).\) Từ đó, \(S = a + b = 1 + \frac{6}{5} = \frac{{11}}{5}.\)

Lời giải ngắn gọn như sau:

\({\log _2}\left( {3x - 2} \right) > {\log _2}\left( {6 - 5x} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 2 > 6 - 5x\\6 - 5x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x < \frac{6}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < x < \frac{6}{5}.\) Chọn B.

Ta có: \(2\sin \left( {x - \frac{\pi }{{12}}} \right) + \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{{12}}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{{12}}} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{3}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - \frac{\pi }{{12}} = - \frac{\pi }{3} + k2\pi }\\{x - \frac{\pi }{{12}} = \pi - \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) + k2\pi }\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{x = \frac{{17\pi }}{{12}} + k2\pi }\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.} \right.\).

Vậy phương trình có nghiệm là: \[x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi ;\,\,x = \frac{{17\pi }}{{12}} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

Phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng \( - \frac{\pi }{4}\).

Số nghiệm của phương trình trong khoảng \(\left( { - \pi ;\pi } \right)\) là hai nghiệm.

Đáp án:       a) Sai,                    b) Sai,                   c) Đúng,      d) Đúng.

Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 6 > 0}\\{x - 1 > 0}\end{array} \Leftrightarrow x > 1} \right.\).

Ta có \({\log _3}\left( {x + 6} \right) = {\log _3}\left( {x - 1} \right) + 1 \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x + 6} \right) = {\log _3}\left( {x - 1} \right) + {\log _3}3\)

\[ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x + 6} \right) = {\log _3}3\left( {x - 1} \right) \Rightarrow x + 6 = 3\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow x = \frac{9}{2}\] (thoả mãn điều kiện).

Vậy phương trình (*) có nghiệm là \(x = \frac{9}{2}\).

Giải phương trình: \(\frac{{{x^2} - 11x + 9}}{{x - 1}} = 0\) ta được tập nghiệm là \(S = \left\{ {\frac{{11 \pm \sqrt {85} }}{2}} \right\}\).

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{9}{2}} \left( {x - 3} \right) = \frac{9}{2} - 3 = \frac{3}{2} \ne \frac{5}{2}\).

Ta có \({d_1}:2x - y - 8 = 0 \Leftrightarrow y = 2x - 8\).

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) là: \(2x - 8 = 0\)\( \Leftrightarrow x = 4\).

Đáp án:       a) Đúng,      b) Sai,                   c) Sai,                    d) Sai.

Ta có: \({4^{{x^2} + 5}} = {\left( {{2^2}} \right)^{{x^2} + 5}} = {2^{2\left( {{x^2} + 5} \right)}};\,\,{\left( {\frac{1}{8}} \right)^{x - {x^2}}} = {\left( {{2^{ - 3}}} \right)^{x - {x^2}}} = {2^{ - 3\left( {x - {x^2}} \right)}}.\) Khi đó:

\({4^{{x^2} + 5}} \ge {\left( {\frac{1}{8}} \right)^{x - {x^2}}} \Leftrightarrow {2^{2\left( {{x^2} + 5} \right)}} \ge {2^{ - 3\left( {x - {x^2}} \right)}} \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} + 5} \right) \ge - 3\left( {x - {x^2}} \right) \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 10 \le 0 \Leftrightarrow - 2 \le x \le 5\).

Vậy phương trình có \(8\) nghiệm nguyên.

Tích nghiệm lớn nhất và nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình là \(\left( { - 2} \right) \cdot 5 = - 10\).

Đáp án:       a) Đúng,      b) Đúng,     c) Sai,                    d) Sai.

Với mỗi điểm \(M\left( {x;y} \right)\) nằm trên mặt cầu, khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt nước tương ứng với giá trị tung độ \(y\) của điểm \(M\).

Xét phương trình: \(4,8\cos \frac{x}{9} = 3,6 \Leftrightarrow \cos \frac{x}{9} = \frac{3}{4}\)

Do \(x \in \left[ { - \frac{{9\pi }}{2};\frac{{9\pi }}{2}} \right]\) nên \(\frac{x}{9} \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\)

Từ phương trình \(\cos \frac{x}{9} = \frac{3}{4}\) với \(\frac{x}{9} \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\), ta có \(\frac{x}{9} \approx \pm 0,7227\). Khi đó, \(2\left| x \right| \approx 13,0086\).

Vậy chiều rộng của khối hàng hoá đó lớn nhất là \(13\,{\rm{m}}\) để sà lan có thể đi qua được gầm cầu.

Đáp án: \(13\).