45 bài tập Xác suất có lời giải

Gọi số tự nhiên cần tìm là \(\overline {abcd} \), từ yêu cầu bài toán ta có:

\(d \in \left\{ {1;2;3} \right\}\): có 3 cách chọn

\(a\): có 3 cách chọn \(\left( {a \ne 0,a \ne d} \right)\)

Trong 3 số còn lại chọn ra 2 số lần lượt đặt vào các vị trí \(b,c\) có \(A_3^2\) cách.

Số các số thỏa yêu cầu bài toán là \(S = 3 \cdot 3 \cdot A_3^2 = 54\) số. Chọn D.

Ta có \(A = \left\{ {\left( {2,1} \right);\left( {2,3} \right);\left( {2,4} \right);\left( {4,1} \right);\left( {4,2} \right);\left( {4,3} \right)} \right\}\);

\(B = \left\{ {\left( {1,1} \right);\left( {1,3} \right);\left( {2,1} \right);\left( {2,3} \right);\left( {3,1} \right);\left( {3,3} \right);\left( {4,1} \right);\left( {4,3} \right)} \right\}\).

Khi đó, biến cố \[C = B|A\]\[ = A \cap B = \left\{ {\left( {2,1} \right);\left( {2,3} \right);\left( {4,1} \right);\left( {4,3} \right)} \right\}\]. Chọn A.

Số cách lấy ra 2 quả cầu trong 11 quả là \(C_{11}^2\). Suy ra \(n\left( \Omega \right) = C_{11}^2\).

Gọi \(A\) là biến cố lấy được 2 quả cùng màu. Suy ra \(n\left( A \right) = C_5^2 + C_6^2\).

Xác suất của biến cố \(A\) là \(P\left( A \right) = \frac{{C_5^2 + C_6^2}}{{C_{11}^2}} = \frac{5}{{11}}\). Chọn C.

Theo công thức tính xác suất có điều kiện ta có:

\(\;P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} \Rightarrow P\left( {AB} \right) = P\left( {A|B} \right) \cdot P\left( B \right) = 0,3 \cdot 0,6 = 0,18\).

Vì \(\;\overline A B\) và \(\;AB\) là hai biến cố xung khắc và \(\;\overline A B \cup AB = B\) nên theo tính chất của xác suất, ta có: \(\;P\left( {\overline A B} \right) + P\left( {AB} \right) = P\left( B \right) \Rightarrow P\left( {\overline A B} \right) = P\left( B \right) - P\left( {AB} \right) = 0,6 - 0,18 = 0,42\). Chọn B.

Xét các biến cố:

\(A\): “Bạn An lấy được bộ câu hỏi về chủ đề tự nhiên”;

\(B\): “Bạn Bình lấy được bộ câu hỏi về chủ đề xã hội”.

Khi đó, \(P\left( A \right) = \frac{{20}}{{36}} = \frac{5}{9};\;\;P\left( {\bar A} \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}\).

Nếu bạn An chọn được một bộ câu hỏi về chủ đề tự nhiên thì sau đó còn 35 bộ câu hỏi, trong đó có 16 bộ câu hỏi về chủ đề xã hội\( \Rightarrow P\left( {B\mid A} \right) = \frac{{16}}{{35}}\).

Nếu bạn An chọn được một bộ câu hỏi về chủ đề xã hội thì sau đó còn 35 bộ câu hỏi, trong đó có 15 bộ câu hỏi về chủ đề xã hội\( \Rightarrow P\left( {B\mid \bar A} \right) = \frac{{15}}{{35}}\).

Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất bạn Bình lấy được bộ câu hỏi về chủ đề xã hội là: \(P\left( B \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B\mid A} \right) + P\left( {\bar A} \right) \cdot P\left( {B\mid \bar A} \right) = \frac{5}{9} \cdot \frac{{16}}{{35}} + \frac{4}{9} \cdot \frac{{15}}{{35}} = \frac{4}{9}\). Chọn C.

Ta có xác suất của các biến cố đối: \(P\left( {\bar A} \right) = \frac{3}{4},P\left( {\bar B} \right) = \frac{2}{3}\). Vì \(A,B\) là hai biến cố độc lập nên mỗi cặp biến cố lấy ra từ \(A,B,\bar A,\bar B\) đều là cặp biến cố độc lập.

Do vậy \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{{12}},P\left( {\bar AB} \right) = P\left( {\bar A} \right) \cdot P\left( B \right) = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{4},\)

\(P\left( {A\bar B} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {\bar B} \right) = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{6},P\left( {\bar A\bar B} \right) = P\left( {\bar A} \right) \cdot P\left( {\bar B} \right) = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{2}.\)

Đáp án:       a) Sai,                    b) Sai,                  c) Đúng,      d) Đúng.

Gọi \(A\): “Học sinh được chọn giỏi môn Toán” và \(B\): “Học sinh được chọn giỏi môn Văn”.

Gọi \(C\): “Học sinh được chọn không giỏi môn Toán”  và \(D\): “Học sinh được chọn không giỏi môn Văn”.

Số học sinh giỏi cả 2 môn là: \(23 + 20 - 35 = 8\).

Trong số 23 học sinh giỏi Toán, chỉ có đúng 8 học sinh giỏi Văn nên xác suất để học sinh được chọn giỏi môn Toán biết rằng học sinh đó cũng giỏi môn Văn là: \(P\left( {A|B} \right) = \frac{8}{{20}} = \frac{2}{5}\).

Trong số 20 học sinh giỏi Văn, chỉ có đúng 8 học sinh giỏi Toán nên xác suất để học sinh được chọn giỏi môn Văn biết rằng học sinh đó cũng giỏi môn Toán là: \(P\left( {B|A} \right) = \frac{8}{{23}}\).

Trong số 20 học sinh giỏi Văn, có đúng 8 học sinh giỏi cả Văn và Toán, nên số học sinh giỏi Văn mà không giỏi Toán là 12. Xác suất để học sinh được chọn không giỏi môn Toán biết rằng học sinh đó giỏi môn Văn là: \(P\left( {C|B} \right) = \frac{{12}}{{20}} = \frac{3}{5}\).

Trong số 23 học sinh giỏi Toán, có đúng 8 học sinh giỏi cả Toán và Văn nên số học sinh không giỏi Văn mà giỏi Toán là \(23 - 8 = 15\). Xác suất để học sinh được chọn không giỏi môn Văn biết rằng học sinh đó giỏi môn Toán là: \(P\left( {D|A} \right) = \frac{{15}}{{23}}\).

Đáp án:       a) Đúng,      b) Đúng,     c) Sai,                    d) Sai.

\(B\) là biến cố “Viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi đỏ” nên \(P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{5}{{10}} = 0,5\).

Giả sử viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi đỏ thì sau khi chuyển, hộp thứ hai có 7 bi đỏ và 4 bi xanh nên \(P\left( {A|B} \right) = \frac{7}{{11}}\).

Gọi \(\bar B\): “Viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi xanh”.

Nếu viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi xanh thì sau khi chuyển, hộp thứ hai có 6 bi đỏ và 5 bi xanh. Khi đó \(P\left( {A|\bar B} \right) = \frac{6}{{11}}\).

Ta có: \(P\left( {\bar B} \right) = 1 - P\left( B \right) = 1 - 0,5 = 0,5\).

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là viên bi đỏ là: \(P\left( A \right) = P\left( B \right) \cdot P\left( {A|B} \right) + P\left( {\bar B} \right) \cdot P\left( {A|\bar B} \right) = 0,5 \cdot \frac{7}{{11}} + 0,5 \cdot \frac{6}{{11}} = \frac{{13}}{{22}}\).

Đáp án:       a) Đúng,      b) Đúng,     c) Sai,                    d) Đúng.