Một hộp đựng 12 viên bi có kích thước và khối lượng giống nhau, trong đó có 7 viên bi màu xanh và 5 viên bi màu vàng. Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi từ hộp đó. Xác suất để trong 5 viên bi được chọn có ít nhất 2 viên bi màu vàng là:

\(B\) là biến cố “Viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi đỏ” nên \(P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{5}{{10}} = 0,5\).

Giả sử viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi đỏ thì sau khi chuyển, hộp thứ hai có 7 bi đỏ và 4 bi xanh nên \(P\left( {A|B} \right) = \frac{7}{{11}}\).

Gọi \(\bar B\): “Viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi xanh”.

Nếu viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi xanh thì sau khi chuyển, hộp thứ hai có 6 bi đỏ và 5 bi xanh. Khi đó \(P\left( {A|\bar B} \right) = \frac{6}{{11}}\).

Ta có: \(P\left( {\bar B} \right) = 1 - P\left( B \right) = 1 - 0,5 = 0,5\).

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là viên bi đỏ là: \(P\left( A \right) = P\left( B \right) \cdot P\left( {A|B} \right) + P\left( {\bar B} \right) \cdot P\left( {A|\bar B} \right) = 0,5 \cdot \frac{7}{{11}} + 0,5 \cdot \frac{6}{{11}} = \frac{{13}}{{22}}\).

Đáp án:       a) Đúng,      b) Đúng,     c) Sai,                    d) Đúng.

Theo công thức tính xác suất có điều kiện ta có:

\(\;P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} \Rightarrow P\left( {AB} \right) = P\left( {A|B} \right) \cdot P\left( B \right) = 0,3 \cdot 0,6 = 0,18\).

Vì \(\;\overline A B\) và \(\;AB\) là hai biến cố xung khắc và \(\;\overline A B \cup AB = B\) nên theo tính chất của xác suất, ta có: \(\;P\left( {\overline A B} \right) + P\left( {AB} \right) = P\left( B \right) \Rightarrow P\left( {\overline A B} \right) = P\left( B \right) - P\left( {AB} \right) = 0,6 - 0,18 = 0,42\). Chọn B.