30 đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có lời giải

Câu 1

Cho lăng trụ đều ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng a . Gọi $α$ là góc giữa mặt phẳng (A'BC) và mặt phẳng (ABC) . Tính $\tan α .$

A. $\tan α = \sqrt{3} .$

B. $\tan α = 2.$

C. $\tan α = \frac{2 \sqrt{3}}{3} .$

D. $\tan α = \frac{\sqrt{3}}{2} .$

Lời giải

Chọn C.

Cho lăng trụ đều ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng a (ảnh 1)

Gọi M là trung điểm của

suy ra $\{\begin{cases} B C ⊥ A M \\ B C ⊥ A' A \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ A' M .$

Vậy $\{\begin{array}{l} (A' B C) \cap (A B C) = B C \\ B C ⊥ A M, B C ⊥ A' M \end{array} \Rightarrow α = ((A' B C); (A B C)) = (A M; A' M) = \hat{A' M A} .$

Tam giác ABC đều cạnh a nên

A M = \frac{a \sqrt{3}}{2} .

Câu 2

Cho các số thực $x, y$ thỏa mãn $\ln y \geq \ln (x^{3} + 2) - \ln 3.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $H = e^{4 y - x^{3} - x - 2} - \frac{x^{2} + y^{2}}{2} + x (y + 1) - y .$

A. $\frac{1}{e}$

B. $e .$

C. 1.

D. 0

Lời giải

Chọn C.

Điều kiện: $y > 0, x > - \sqrt[3]{2}$

Từ giả thiết ta có: $\begin{array}{l} \ln y + \ln 3 \geq \ln (x^{3} + 2) \\ \Leftrightarrow \ln 3 y \geq \ln (x^{3} + 2) \\ \Leftrightarrow 3 y \geq x^{3} + 2 \Leftrightarrow 3 (y - x) \geq x^{3} - 3 x + 2 \end{array}$

Xét hàm số $h (x) = x^{3} - 3 x + 2$ trên $(- \sqrt[3]{2}; + \infty) .$

Ta có: $h' (x) = 3 x^{2} - 3, h' (x) = 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} - 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 1 \end{array} .$

$h (- 1) = 4, h (1) = 0, h (- \sqrt[3]{2}) = 3 \sqrt[3]{2} > 0.$

Bảng biến thiên:

Cho các số thực thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (ảnh 1)

Từ bảng biến thiên suy ra: $\min_{(- \sqrt[3]{2}; + \infty)} h (x) = 0.$

Suy ra: $3 (y - x) \geq 0 \Leftrightarrow y - x \geq 0.$

Ta có:

$\begin{array}{l} H = e^{4 y - x^{3} - x - 2} - \frac{x^{2} + y^{2}}{2} + x (y + 1) - y \\ = e^{y - x + 3 y - (x^{3} + 2)} - \frac{{(y - x)}^{2}}{2} - (y - x) \geq e^{y - x} - \frac{{(y - x)}^{2}}{2} - (y - x) . \end{array}$

Xét hàm số $g (t) = e^{t} - \frac{1}{2} t^{2} - t$ trên $[0; + \infty) .$

Ta có: $g' (t) = e^{t} - t - 1, g " (t) = e^{t} - 1.$

Ta có: $\forall t \geq 0 \Rightarrow g " (t) = e^{t} - 1 \geq e^{0} - 1 = 0,$

suy ra hàm số $g' (t)$ đồng biến trên $[0; + \infty) .$

Suy ra: $\forall t \geq 0 : g' (t) \geq g' (0) = 0,$

suy ra hàm số $g (t)$ đồng biến trên $[0; + \infty) .$

Vậy $\min_{[0; + \infty)} g (t) = g (0) = 1,$ Suy ra: $H_{\min} = 1.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: $\{\begin{cases} x = y \\ 3 y = x^{3} + 2 \end{cases} \Leftrightarrow x = y = 1.$

Câu 3

Một đám vi trùng tại ngày thứ $t$ có số lượng là $N (t) .$ Biết rằng $N' (t) = \frac{2000}{1 + 2 t}$ và lúc đàu đám vi trùng có 300000 con. Ký hiệu $L$ là số lượng vi trùng sau 10 ngày. Tìm $L .$

A. $L = 303044.$

B. $L = 306089.$

C. $L = 300761.$

D. $L = 301522.$

Lời giải

Chọn A

Ta có

N' (t) = \frac{2000}{1 + 2 t} \Rightarrow N (t) = \int_{}^{} \frac{2000}{1 + 2 t} d t = 1000 \ln (1 + 2 t) + C .

Lúc đầu đám vi trùng có 300000 con suy ra $N (0) = 300000.$

Khi đó $1000 \ln (1 + 2.0) + C = 300000 \Leftrightarrow C = 300000.$

Suy ra $N (t) = 1000 \ln (1 + 2 t) + 300000.$

Vậy

L = N (10) = 1000 \ln 21 + 300000 = 303044.

Câu 4

Cho hàm số $f (x)$ có đạo hàm trên $ℝ$ và có dấu của $f' (x)$ như sau:

Hàm số $y = f (2 - x)$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1

B. 4

C. 3

D. 2

Lời giải

Chọn C.

Ta có $y' = - f' (2 - x) .$ Xét . $y' = 0 \Leftrightarrow - f' (2 - x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 - x = - 1 \\ 2 - x = 1 \\ 2 - x = 2 \\ 2 - x = 3 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 3 \\ x = 1 \\ x = 0 \\ x = - 1 \end{array}$

Bảng xét dấu:

Cho hàm số F(x) có đạo hàm trên R và có dấu của F'(x) như sau: (ảnh 2)

Từ bảng xét dấu, ta suy ra hàm số $y = f (2 - x)$ có tất cả 3 điểm cực trị.

Câu 5

Cho tam diện vuông $O . A B C$ có bán kính mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp lần lượt là $R$ và $r .$ Khi đó tỉ số $\frac{R}{r}$ đạt giá trị nhỏ nhất là $\frac{x + \sqrt{y}}{2} .$ Tính $P = x + y .$

A. 30.

B. 6.

C. 60.

D. 27.

Lời giải

Chọn A.

Cho tam diện vuông O.ABC có bán kính mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp lần lượt là R và r (ảnh 1)

Đặt $O A = a, O B = b, O C = c .$

Gọi $M$ là trung điểm của $B C,$

dựng trục đường tròn ngoại tiếp tam giác $O B C,$

trên mặt phẳng $(O A M),$

kẻ đường trung trực của đoạn $O A$ cắt $Δ$ tại $I$ là

tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $O . A B C .$

+) $\begin{array}{l} O M = \frac{1}{2} B C = \frac{1}{2} \sqrt{b^{2} + c^{2}}, \\ R = \sqrt{M I^{2} + O M^{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} . \end{array}$

+) Gọi $H$ là chân đường cao hạ từ đỉnh $A$ của

tam giác $A B C,$ suy ra:

$\{\begin{cases} B C ⊥ A H \\ B C ⊥ A O \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ (O A H) \Rightarrow B C ⊥ O H .$

$\begin{array}{l} \frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} \\ \Rightarrow O H = \frac{b c}{\sqrt{b^{2} + c^{2}}} \Rightarrow A H = \sqrt{O A^{2} + O H^{2}} \\ = \sqrt{a^{2} + \frac{b^{2} c^{2}}{b^{2} + c^{2}}} = \sqrt{\frac{a^{2} b^{2} + a^{2} c^{2} + b^{2} c^{2}}{\sqrt{b^{2} + c^{2}}}} \end{array}$

Suy ra: $\begin{array}{l} S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} A H . B C = \frac{1}{2} \frac{\sqrt{a^{2} b^{2} + a^{2} c^{2} + b^{2} c^{2}}}{\sqrt{b^{2} + c^{2}}} . \sqrt{b^{2} + c^{2}} \\ = \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} b^{2} + a^{2} c^{2} + b^{2} c^{2}} . \end{array}$

+) Gọi $J$ là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp $O . A B C .$

Khi đó:

$\begin{array}{l} d (J; (O A B)) = d (J; (O B C)) \\ = d (J; (O A C)) = d (J; (A B C)) = r . \end{array}$

$\begin{array}{l} V_{O . A B C} = V_{J . A B C} + V_{J . O B C} + V_{J . A O C} + V_{J . A B O} \\ \Leftrightarrow \frac{1}{6} a b c = \frac{1}{3} r (S_{Δ A B C} + S_{Δ O B C} + S_{Δ A O C} + S_{Δ A B O}) \end{array}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2} a b c = r (\frac{1}{2} \sqrt{a^{2} b^{2} + a^{2} c^{2} + b^{2} c^{2}} + \frac{1}{2} (a b + b c + c a)) .$

$\Leftrightarrow \frac{1}{r} = \frac{1}{a b c} (\sqrt{a^{2} b^{2} + a^{2} c^{2} + b^{2} c^{2}} + a b + b c + c a) .$

Suy ra:

$\frac{R}{r} = \frac{1}{2} . \frac{1}{a b c} . \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} (\sqrt{a^{2} b^{2} + a^{2} c^{2} + b^{2} c^{2}} + a b + b c + c a)$

$\geq \frac{1}{2} . \frac{1}{a b c} . \sqrt{3 \sqrt[3]{a^{2} b^{2} c^{2}}} (\sqrt{3 \sqrt[3]{a^{2} b^{2} . a^{2} c^{2} . b^{2} c^{2}}} + 3 \sqrt[3]{a b . b c . c a})$

$= \frac{1}{2} . \frac{1}{a b c} . \sqrt{3} . \sqrt[3]{a b c} (\sqrt{3} . \sqrt[3]{a^{2} b^{2} c^{2}} + 3 \sqrt[3]{a^{2} b^{2} c^{2}}) = \frac{3 + 3 \sqrt{3}}{2} = \frac{3 + \sqrt{27}}{2} .$

Vậy $P = a + b = 30.$ Dấu “=” xảy ra khi $a = b = c$ .

Câu 6

Công thức tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay có bán kính bằng $r$ và độ dài đường sinh $l$ là

A. $S_{x q} = π r l .$

B. $S_{x q} = r l .$

C. $S_{x q} = 2 r l .$

D. $S_{x q} = 2 π r l .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Viên chức

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Bright

Explore new worlds

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Toán

Vật lý

Hóa học