Cho tam diện vuông O.ABC có bán kính mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp lần lượt là R và r. Khi đó tỉ số Rr đạt giá trị nhỏ nhất là x+y2. Tính P=x+y. A. 30. B. 6. C. 60. D. 27.

Chọn A. Đặt OA=a,OB=b,OC=c. Gọi M là trung điểm của BC, dựng trục đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC, trên mặt phẳng OAM, kẻ đường trung trực của đoạn OA cắt Δ tại I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp O.ABC. +) OM=12BC=12b2+c2,R=MI2+OM2=12a2+b2+c2. +) Gọi H là chân đường cao hạ từ đỉnh A của tam giác ABC, suy ra: BC⊥AHBC⊥AO⇒BC⊥OAH⇒BC⊥OH. 1OH2=1b2+1c2⇒OH=bcb2+c2⇒AH=OA2+OH2=a2+b2c2b2+c2=a2b2+a2c2+b2c2b2+c2 Suy ra:SΔABC=12AH.BC=12a2b2+a2c2+b2c2b2+c2.b2+c2=12a2b2+a2c2+b2c2. +) Gọi J là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp O.ABC. Khi đó: dJ;OAB=dJ;OBC=dJ;OAC=dJ;ABC=r. VO.ABC=VJ.ABC+VJ.OBC+VJ.AOC+VJ.ABO⇔16abc=13rSΔABC+SΔOBC+SΔAOC+SΔABO ⇔12abc=r12a2b2+a2c2+b2c2+12ab+bc+ca. ⇔1r=1abca2b2+a2c2+b2c2+ab+bc+ca. Suy ra: Rr=12.1abc.a2+b2+c2a2b2+a2c2+b2c2+ab+bc+ca ≥12.1abc.3a2b2c233a2b2.a2c2.b2c23+3ab.bc.ca3 =12.1abc.3.abc33.a2b2c23+3a2b2c23=3+332=3+272. Vậy P=a+b=30. Dấu “=” xảy ra khi a=b=c.

Câu hỏi:

30/03/2022 984

Cho tam diện vuông $O . A B C$ có bán kính mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp lần lượt là $R$ và $r .$ Khi đó tỉ số $\frac{R}{r}$ đạt giá trị nhỏ nhất là $\frac{x + \sqrt{y}}{2} .$ Tính $P = x + y .$

A. 30.

B. 6.

C. 60.

D. 27.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 30 đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có lời giải !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn A.

Cho tam diện vuông O.ABC có bán kính mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp lần lượt là R và r (ảnh 1)

Đặt $O A = a, O B = b, O C = c .$

Gọi $M$ là trung điểm của $B C,$

dựng trục đường tròn ngoại tiếp tam giác $O B C,$

trên mặt phẳng $(O A M),$

kẻ đường trung trực của đoạn $O A$ cắt $Δ$ tại $I$ là

tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $O . A B C .$

+) $\begin{array}{l} O M = \frac{1}{2} B C = \frac{1}{2} \sqrt{b^{2} + c^{2}}, \\ R = \sqrt{M I^{2} + O M^{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} . \end{array}$

+) Gọi $H$ là chân đường cao hạ từ đỉnh $A$ của

tam giác $A B C,$ suy ra:

$\{\begin{cases} B C ⊥ A H \\ B C ⊥ A O \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ (O A H) \Rightarrow B C ⊥ O H .$

$\begin{array}{l} \frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} \\ \Rightarrow O H = \frac{b c}{\sqrt{b^{2} + c^{2}}} \Rightarrow A H = \sqrt{O A^{2} + O H^{2}} \\ = \sqrt{a^{2} + \frac{b^{2} c^{2}}{b^{2} + c^{2}}} = \sqrt{\frac{a^{2} b^{2} + a^{2} c^{2} + b^{2} c^{2}}{\sqrt{b^{2} + c^{2}}}} \end{array}$

Suy ra: $\begin{array}{l} S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} A H . B C = \frac{1}{2} \frac{\sqrt{a^{2} b^{2} + a^{2} c^{2} + b^{2} c^{2}}}{\sqrt{b^{2} + c^{2}}} . \sqrt{b^{2} + c^{2}} \\ = \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} b^{2} + a^{2} c^{2} + b^{2} c^{2}} . \end{array}$

+) Gọi $J$ là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp $O . A B C .$

Khi đó:

$\begin{array}{l} d (J; (O A B)) = d (J; (O B C)) \\ = d (J; (O A C)) = d (J; (A B C)) = r . \end{array}$

$\begin{array}{l} V_{O . A B C} = V_{J . A B C} + V_{J . O B C} + V_{J . A O C} + V_{J . A B O} \\ \Leftrightarrow \frac{1}{6} a b c = \frac{1}{3} r (S_{Δ A B C} + S_{Δ O B C} + S_{Δ A O C} + S_{Δ A B O}) \end{array}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2} a b c = r (\frac{1}{2} \sqrt{a^{2} b^{2} + a^{2} c^{2} + b^{2} c^{2}} + \frac{1}{2} (a b + b c + c a)) .$

$\Leftrightarrow \frac{1}{r} = \frac{1}{a b c} (\sqrt{a^{2} b^{2} + a^{2} c^{2} + b^{2} c^{2}} + a b + b c + c a) .$

Suy ra:

$\frac{R}{r} = \frac{1}{2} . \frac{1}{a b c} . \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} (\sqrt{a^{2} b^{2} + a^{2} c^{2} + b^{2} c^{2}} + a b + b c + c a)$

$\geq \frac{1}{2} . \frac{1}{a b c} . \sqrt{3 \sqrt[3]{a^{2} b^{2} c^{2}}} (\sqrt{3 \sqrt[3]{a^{2} b^{2} . a^{2} c^{2} . b^{2} c^{2}}} + 3 \sqrt[3]{a b . b c . c a})$

$= \frac{1}{2} . \frac{1}{a b c} . \sqrt{3} . \sqrt[3]{a b c} (\sqrt{3} . \sqrt[3]{a^{2} b^{2} c^{2}} + 3 \sqrt[3]{a^{2} b^{2} c^{2}}) = \frac{3 + 3 \sqrt{3}}{2} = \frac{3 + \sqrt{27}}{2} .$

Vậy $P = a + b = 30.$ Dấu “=” xảy ra khi $a = b = c$ .

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một đám vi trùng tại ngày thứ $t$ có số lượng là $N (t) .$ Biết rằng $N' (t) = \frac{2000}{1 + 2 t}$ và lúc đàu đám vi trùng có 300000 con. Ký hiệu $L$ là số lượng vi trùng sau 10 ngày. Tìm $L .$

A. $L = 303044.$

B. $L = 306089.$

C. $L = 300761.$

D. $L = 301522.$

Lời giải

Chọn A

Ta có

N' (t) = \frac{2000}{1 + 2 t} \Rightarrow N (t) = \int_{}^{} \frac{2000}{1 + 2 t} d t = 1000 \ln (1 + 2 t) + C .

Lúc đầu đám vi trùng có 300000 con suy ra $N (0) = 300000.$

Khi đó $1000 \ln (1 + 2.0) + C = 300000 \Leftrightarrow C = 300000.$

Suy ra $N (t) = 1000 \ln (1 + 2 t) + 300000.$

Vậy

L = N (10) = 1000 \ln 21 + 300000 = 303044.

Câu 2

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, để hai vecto $\vec{a} = (m; 2; 3)$ và $\vec{b} = (1; n; 2)$ cùng phương thì 2m+3n bằng

A. 7

B. 8

C. 6

D. 9

Lời giải

Ta có :

Để $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương thì $\vec{a} = k . \vec{b}$

$\Leftrightarrow k = \frac{3}{2} \Rightarrow \{\begin{cases} n = 2 : \frac{3}{2} = \frac{4}{3} \\ m = 1 . \frac{3}{2} = \frac{3}{2} \end{cases} \Rightarrow 2 m + 3 n = 2 . \frac{3}{2} + 3 . \frac{4}{3} = 7$

Câu 3

Cho hàm số $f (x)$ có đạo hàm trên $ℝ$ và có dấu của $f' (x)$ như sau:

Hàm số $y = f (2 - x)$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1

B. 4

C. 3

D. 2

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Hàm số $y = \tan x$ có tập giá trị là R

B. Hàm số $y = \cos x$ có tập giá trị là

C. Hàm số y=sinx có tập giá trị là $[- 1; 1]$

D. Hàm số y=cotx có tập xác định là $[0; π]$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có chiều cao bằng 8 và đáy là tam giác đều cạnh bằng 6. Gọi M,N,P lần lượt là tâm của các mặt bên ABB'A', ACC'A' và BCC'B'. Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A,B,C,M,N,P bằng:

A. $30 \sqrt{3}$

B. $21 \sqrt{3}$

C. $27 \sqrt{3}$

D. $36 \sqrt{3}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Tổng các giá trị nguyên âm của m để hàm số $y = x^{3} + m x - \frac{1}{5 x^{5}}$ đồng biến trên khoảng $(0; + \infty)$ ?

A. -10

B. -3

C. -6

D. -7

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Gọi a,b là các số nguyên thỏa mãn $(1 + \tan 1^{o}) (1 + \tan 2^{o}) . . . (1 + \tan 43^{o}) = 2^{o} (1 + \tan b^{o})$ đồng thời $a, b \in [0; 90]$ Tính P=a+b

A. 46

B. 22

C. 44

D. 27

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Cho tam diện vuông $O . A B C$ có bán kính mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp lần lượt là $R$ và $r .$ Khi đó tỉ số $\frac{R}{r}$ đạt giá trị nhỏ nhất là $\frac{x + \sqrt{y}}{2} .$ Tính $P = x + y .$

Một đám vi trùng tại ngày thứ $t$ có số lượng là $N (t) .$ Biết rằng $N' (t) = \frac{2000}{1 + 2 t}$ và lúc đàu đám vi trùng có 300000 con. Ký hiệu $L$ là số lượng vi trùng sau 10 ngày. Tìm $L .$

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, để hai vecto $\vec{a} = (m; 2; 3)$ và $\vec{b} = (1; n; 2)$ cùng phương thì 2m+3n bằng

Cho hàm số $f (x)$ có đạo hàm trên $ℝ$ và có dấu của $f' (x)$ như sau:

Hàm số $y = f (2 - x)$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Tổng các giá trị nguyên âm của m để hàm số $y = x^{3} + m x - \frac{1}{5 x^{5}}$ đồng biến trên khoảng $(0; + \infty)$ ?

Gọi a,b là các số nguyên thỏa mãn $(1 + \tan 1^{o}) (1 + \tan 2^{o}) . . . (1 + \tan 43^{o}) = 2^{o} (1 + \tan b^{o})$ đồng thời $a, b \in [0; 90]$ Tính P=a+b