Cho tam diện vuông $O.ABC$ có bán kính mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp lần lượt là $R$ và $r.$ Khi đó tỉ số $\frac{R}{r}$ đạt giá trị nhỏ nhất là $\frac{x+\sqrt{y}}{2}.$ Tính $P=x+y.$

Đặt $OA=a,OB=b,OC=c.$

Gọi $M$ là trung điểm của $BC,$ 

dựng trục đường tròn  ngoại tiếp tam giác $OBC,$

trên mặt phẳng $\left(OAM\right),$

kẻ đường trung trực của đoạn $OA$ cắt $\Delta$ tại $I$ là

tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $O.ABC.$

+) $\begin{array}{l}OM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\sqrt{b^2+c^2},\\ R=\sqrt{M{I}^2+O{M}^2}=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2+c^2}.\end{array}$

+) Gọi $H$ là chân đường cao hạ từ đỉnh $A$ của

 tam giác $ABC,$ suy ra:

$\left\{\begin{array}{l}BC\perp AH\\ BC\perp AO\end{array}\right.\Rightarrow BC\perp \left(OAH\right)\Rightarrow BC\perp OH.$

$\begin{array}{l}\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\\ \Rightarrow OH=\frac{bc}{\sqrt{b^2+c^2}}\Rightarrow AH=\sqrt{O{A}^2+O{H}^2}\\ =\sqrt{a^2+\frac{b^2{c}^2}{b^2+c^2}}=\sqrt{\frac{a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2}{\sqrt{b^2+c^2}}}\end{array}$

+) Gọi $J$ là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp $O.ABC.$

Khi đó:

 $\begin{array}{l}d\left(J;\left(OAB\right)\right)=d\left(J;\left(OBC\right)\right)\\ =d\left(J;\left(OAC\right)\right)=d\left(J;\left(ABC\right)\right)=r.\end{array}$

$\begin{array}{l}{V}_{O.ABC}=V_{J.ABC}+V_{J.OBC}+V_{J.AOC}+V_{J.ABO}\\ \iff \frac{1}{6}abc=\frac{1}{3}r\left(S_{\Delta ABC}+S_{\Delta OBC}+S_{\Delta AOC}+S_{\Delta ABO}\right)\end{array}$

 $\iff \frac{1}{2}abc=r\left(\frac{1}{2}\sqrt{a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2}+\frac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)\right).$

     $\iff \frac{1}{r}=\frac{1}{abc}\left(\sqrt{a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2}+ab+bc+ca\right).$

Suy ra:

 $\frac{R}{r}=\frac{1}{2}.\frac{1}{abc}.\sqrt{a^2+b^2+c^2}\left(\sqrt{a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2}+ab+bc+ca\right)$

               $\ge \frac{1}{2}.\frac{1}{abc}.\sqrt{3\sqrt[3]{a^2{b}^2{c}^2}}\left(\sqrt{3\sqrt[3]{a^2{b}^2.a^2{c}^2.b^2{c}^2}}+3\sqrt[3]{ab.bc.ca}\right)$

       $=\frac{1}{2}.\frac{1}{abc}.\sqrt{3}.\sqrt[3]{abc}\left(\sqrt{3}.\sqrt[3]{a^2{b}^2{c}^2}+3\sqrt[3]{a^2{b}^2{c}^2}\right)=\frac{3+3\sqrt{3}}{2}=\frac{3+\sqrt{27}}{2}.$

Vậy $P=a+b=30.$ Dấu “=” xảy ra khi $a=b=c$.