Cho hàm số f(x)=x³-3x+m+2. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương m<2018 sao cho với mọi bộ số thực $a,b,c\in \left[-1;3\right]$ thì f(a), f(b), f(c) là độ dài ba cạnh của một tam giác nhọn. 

Chọn A

Xét hàm số f (x) = x³-3x+m+2, ta có:

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=3x^2-3 \Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=0 \iff x=\pm 1 \\ f\left(1\right)=m, f(-1)=m+6, f\left(3\right)=m+20 \\ Suy ra: \underset{\left[-1;3\right]}{min} f\left(x\right) =f\left(1\right)=m, \underset{\left[-1;3\right]}{max}f\left(x\right)=f\left(3\right)=m+20 \end{gathered}$$

Vì f(a), f(b), f(c) là độ dài ba cạnh của một tam giác nên:

$f\left(x\right)>0, \forall x\in \left[-1;3\right] \iff \underset{\left[-1;3\right]}{min}f\left(x\right)=m>0\Rightarrow 0<m<2018$

Mặt khác, với mọi số thực $a,b,c \in \left[-1;3\right]$ thì f(a), f(b), f(c), là độ dài ba cạnh của một tam giác nhọnkhi và chỉ khi f(1), f(1), f(3) cũng là độ dài ba cạnh của tam giác nhọn

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}f\left(1\right)+f\left(1\right)>f\left(3\right)\\ {\left[f\left(1\right)\right]}^2+{\left[f\left(1\right)\right]}^2>{\left[f\left(3\right)\right]}^2\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}2m>m+20\\ 2m^2>{(m+20)}^2\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}m>20\\ m<20-20\sqrt{2 } hoặc m>20+20\sqrt{2}\end{array}\right.\right.\right. \\ \iff m>20+20\sqrt{2}\Rightarrow 20+20\sqrt{2}<m<2018 \end{gathered}$$

Mà $m\in {\mathrm{\mathbb{Z}}}^{*}\Rightarrow m=49,50....2017$nên ta có 2017-48 = 1969 giá trị nguyên dương của m