Cho bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - m} \right) + {\log _2}\left( {4 - x} \right) \le 0\), với \(m\) là tham số.

a) Với \(m = 2\), điều kiện xác định của bất phương trình là \(1 \le x \le 4\).

b) Với \(m = 2\) thì \(x = 2\) là nghiệm của bất phương trình trên.

c) Với \(m = 5\), tập nghiệm của bất phương trình là \(\left[ {3\,;\,4} \right)\).

d) Có \(8\) giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để bất phương trình trên có nghiệm.

a) Với \(m = 2\), bất phương trình trở thành \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 2} \right) + {\log _2}\left( {4 - x} \right) \le 0\).

Điều kiện xác định: \[\left\{ \begin{array}{l}2x - 2 > 0\\4 - x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < x < 4\]. Suy ra mệnh đề sai.

b) Với \(m = 2\), bất phương trình trở thành \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 2} \right) + {\log _2}\left( {4 - x} \right) \le 0\).

Với \(x = 2\), ta thấy: \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 2} \right) + {\log _2}\left( {4 - x} \right) = {\log _{\frac{1}{2}}}2 + {\log _2}2 = 0\).

Suy ra mệnh đề đúng.

c) Với \(m = 5\), bất phương trình trở thành \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 5} \right) + {\log _2}\left( {4 - x} \right) \le 0\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {4 - x} \right) \le {\log _2}\left( {2x - 5} \right)\) \( \Leftrightarrow 0 < 4 - x \le 2x - 5\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 4\\3x \ge 9\end{array} \right. \Leftrightarrow 3 \le x < 4\).

Suy ra mệnh đề đúng.

d) \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - m} \right) + {\log _2}\left( {4 - x} \right) \le 0\)\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {4 - x} \right) \le {\log _2}\left( {2x - m} \right)\)

\( \Leftrightarrow 0 < 4 - x \le 2x - m\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 4\\x \ge \frac{{m + 4}}{3}\end{array} \right.\).

Để bất phương trình có nghiệm thì \(\frac{{m + 4}}{3} < 4 \Leftrightarrow m < 8\).

Mà \(m\) nguyên dương nên \(m \in \left\{ {1;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\,;\,7} \right\}\).

Vậy có \(7\) giá trị nguyên dương của tham số \(m\) thỏa mãn. Suy ra mệnh đề sai.

Đáp án:           a) Sai,             b) Đúng,         c) Đúng,          d) Sai.