Tổng các nghiệm của phương trình \({5^{2\sin x}} = \frac{1}{{25}}\) trên đoạn \(\left[ {0\,;\,100\pi } \right]\) là \(a\pi .\,\)Tính \(a + 2025.\)

Ta có \({5^{2\sin x}} = \frac{1}{{25}} \Leftrightarrow {5^{2\sin x}} = {5^{ - 2}} \Leftrightarrow \sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,\,k \in \mathbb{Z}.\)

Nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0\,;\,100\pi } \right]\) nên ta có \(0\, \le - \frac{\pi }{2} + k2\pi < 100\pi \Leftrightarrow 1 \le k \le 50,\,k \in \mathbb{Z}.\)

Các nghiệm của phương trình thuộc đoạn \(\left[ {0\,;\,100\pi } \right]\) là \(\frac{{3\pi }}{2};\,\frac{{7\pi }}{2};\,\frac{{11\pi }}{2};\,...\,;\frac{{199\pi }}{2}\,\), các nghiệm này lập thành một cấp số cộng có \({u_1} = \frac{{3\pi }}{2};\,{u_{50}} = \frac{{199\pi }}{2}.\,\)

Tổng các nghiệm của phương trình là \(S = \frac{{50}}{2}\left( {\frac{{3\pi }}{2} + \frac{{199\pi }}{2}} \right) = 2525\pi \, \Rightarrow \,a + 2025 = 4550.\)

Đáp án: \(4550\).