Tổng các nghiệm của phương trình \({5^{2\sin x}} = \frac{1}{{25}}\) trên đoạn \(\left[ {0\,;\,100\pi } \right]\) là \(a\pi .\,\)Tính \(a + 2025.\)

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề ôn luyện Toán theo Chủ đề 1. Phương trình và bất phương trình (Đề số 1) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có \({5^{2\sin x}} = \frac{1}{{25}} \Leftrightarrow {5^{2\sin x}} = {5^{ - 2}} \Leftrightarrow \sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,\,k \in \mathbb{Z}.\)

Nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0\,;\,100\pi } \right]\) nên ta có \(0\, \le - \frac{\pi }{2} + k2\pi < 100\pi \Leftrightarrow 1 \le k \le 50,\,k \in \mathbb{Z}.\)

Các nghiệm của phương trình thuộc đoạn \(\left[ {0\,;\,100\pi } \right]\) là \(\frac{{3\pi }}{2};\,\frac{{7\pi }}{2};\,\frac{{11\pi }}{2};\,...\,;\frac{{199\pi }}{2}\,\), các nghiệm này lập thành một cấp số cộng có \({u_1} = \frac{{3\pi }}{2};\,{u_{50}} = \frac{{199\pi }}{2}.\,\)

Tổng các nghiệm của phương trình là \(S = \frac{{50}}{2}\left( {\frac{{3\pi }}{2} + \frac{{199\pi }}{2}} \right) = 2525\pi \, \Rightarrow \,a + 2025 = 4550.\)

Đáp án: \(4550\).

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Số nghiệm thực của phương trình \[{3^{{x^2} + 1}} = 9\] là

A. \[1\].

B. \[2\].

C. \[0\].

D. \[3\].

Lời giải

Ta có \[{3^{{x^2} + 1}} = 9 \Leftrightarrow {3^{{x^2} + 1}} = {3^2} \Leftrightarrow {x^2} + 1 = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\]. Chọn B.

Câu 2

Tính tích tất cả các nghiệm của phương trình \(4 \cdot \,3{\,^{\log \left( {100{x^2}} \right)}} + 9 \cdot {4^{\log \left( {10x} \right)}} = 13 \cdot \,{6^{1 + \log x}}\).

Xem đáp án

Lời giải

ĐKXĐ: \(x > 0\).

Đặt \(t = \log x\), phương trình đã cho trở thành\(\,\,4 \cdot \,3{\,^{2 + 2t}} + 9 \cdot \,{4^{1 + t}} = 13 \cdot \,{6^{1 + t}}\)

\( \Leftrightarrow \,\,4 \cdot 9{\,^{1 + t}} + 9 \cdot {4^{1 + t}} = 13 \cdot \,{6^{1 + t}}\)\[ \Leftrightarrow \,\,4 \cdot \,{\left( {\frac{9}{4}} \right)^{1 + t}} + 9 - 13 \cdot \,{\left( {\frac{6}{4}} \right)^{1 + t}} = 0\].

Đặt \(u = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{t + 1}}\), \(u > 0\), ta được \(4{u^2} - 13u + 9 = 0\)\( \Leftrightarrow \,u = 1\,;\,u = \frac{9}{4}\) (nhận).

Với \(u = 1 \Leftrightarrow \,{\left( {\frac{3}{2}} \right)^{t + 1}} = 1\)\( \Leftrightarrow \,\,t = - 1\,\, \Leftrightarrow \,\log \,x\, = - 1\, \Leftrightarrow x = \frac{1}{{10}}\) (thỏa mãn).

Với \(u = \frac{9}{4} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{t + 1}} = \frac{9}{4} \Leftrightarrow t\, = 1\,\)\( \Leftrightarrow \,\,\log x = 1 \Leftrightarrow x = 10\) (thỏa mãn).

Vậy tích hai nghiệm bằng \(1\).

Đáp án: \(1\).

Câu 3

Phương trình \[{\log _3}\left( {3x - 1} \right) = 2\] có nghiệm là

A. \(x = \frac{3}{{10}}\).

B. \(x = 3\).

C. \(x = \frac{{10}}{3}\).

D. \(x = 1\).

Lời giải