Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( { - 1;\;2;\;0} \right),\;B\left( {1;\;1;\;3} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + 3z - 5 = 0\). Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua hai điểm \(A,\;B\) và vuông góc \(\left( P \right)\) có phương trình là \(2x - ay - bz + c = 0.\) Tính giá trị của biểu thức \(a + 2b + 3c\).

Ta có hình vẽ sau:

Giả sử con kiến bò theo đường \(MNPQRSM\).

Ta trải phẳng các mặt của hình lập phương và minh họa đường đi ngắn nhất của con kiến như hình sau:

Gắn hệ trục \(O'xy\) như hình vẽ. Do độ dài cạnh hình lập phương là \(9\) và \(O'M = \frac{1}{3}O'B' = 3\) nên trong hệ trục tọa độ này, ta có đường thẳng \(d\) minh họa đường đi ngắn nhất của con kiến đi qua các điểm có tọa độ \(\left( {3;0} \right)\), \(\left( {30;27} \right)\).

Phương trình đường thẳng \(d\): \(y = x - 3\).

Các đoạn thẳng \(MN,PQ,RS\) lần lượt thuộc các mặt phẳng tọa độ \(\left( {yOz} \right),\left( {xOy} \right),\left( {xOz} \right)\) nên trong không gian, tọa độ của các điểm thuộc các đoạn thẳng này không thỏa yêu cầu bài toán (hoành độ, tung độ và cao độ là các số nguyên dương).

Vậy ta chỉ cần đếm tổng số điểm có tọa độ nguyên dương thuộc các đoạn thẳng \(NP,QR,SM\)(không tính các đầu mút) trong hệ tọa độ \(O'xy\).

Xét đoạn \(NP\):

Điểm \(I\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in NP\) và có tọa độ là các số nguyên dương khi \(\left\{ \begin{array}{l}9 < {x_0} < 12\\{x_0} \in \mathbb{N}\end{array} \right. \Rightarrow {x_0} &  \in \left\{ {10;11} \right\}\). Trường hợp này có 2 điểm.

Hai trường hợp còn lại tương tự.

Kết luận: có tất cả \(6\) điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án: \(6\).

Mặt phẳng \[\left( {Oxz} \right)\]: \[y = 0\].

Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng \[\left( {Oxz} \right)\] là \[d\left( {A,\left( {Oxz} \right)} \right) = \left| {{y_A}} \right| = 2\]. Chọn D.