Cho hình vuông \(ABCD\) có độ dài bằng 1 . Nối các trung điểm của bốn cạnh hình vuông \(ABCD\), ta được hình vuông thứ hai. Tiếp tục nối các trung điểm của bốn cạnh hình vuông thứ hai, ta được hình vuông thứ ba. Tiếp tục như thế ta nhận được một dãy các hình vuông. Tìm tổng chu vi của dãy các hình vuông đó (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Nếu cạnh hình vuông ban đầu là \(x\) thì theo định lí Pythagore, ta có cạnh hình vuông thứ hai là \(\sqrt {{{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{x\sqrt 2 }}{2}.(*)\)

Gọi cạnh hình vuông \(ABCD\) là \({u_1} = 1\), từ \({\rm{(}}*{\rm{)}}\) ta có cạnh hình vuông thứ hai là \({u_2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\), cạnh hình vuông thứ ba là \({u_3} = \frac{1}{2}\), cạnh hình vuông thứ tư là \({u_4} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}, \ldots \)

Xét tổng chu vi dãy các hình vuông là:

\(S = 4{u_1} + 4{u_2} + 4{u_3} +  \ldots  = 4\left( {1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{4} +  \ldots } \right).\)

Dễ thấy \(1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{4} +  \ldots \) là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu bằng 1, công bội bằng \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Vậy ta có: \(S = 4 \cdot \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = 4 \cdot \frac{1}{{1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = 8 + 4\sqrt 2  \approx 13,7\).

Trả lời: 13,7.