Cho \(S = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + ...\) và \(T = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{3^n}}} + ...\). Khi đó:

a) \(S = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + ...\) là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội \(q = - \frac{1}{2}\).

b) \(T = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{3^n}}} + ...\) là tổng của câp số nhân lùi vô hạn có công bội \(q = \frac{1}{3}\).

c) S > T.

d) \(S = \frac{1}{T}\).

(I) \(\lim {n^k} = + \infty \) với \(k\) nguyên dương.

(II) \(\lim {q^n} = + \infty \) nếu \(\left| q \right| < 1\).

(III) \(\lim {q^n} = + \infty \) nếu \(q > 1\)

Biết giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{2{n^2} + 1}}{{3{n^3} - 3n + 3}} = a\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{n\sqrt {{n^2} + 1} }}{{\sqrt {4{n^4} - {n^2} + 3} }} = b\). Khi đó:

a) Giá trị \(a\) nhỏ hơn 0.

b) Giá trị \(b\) lớn hơn 0.

c) Phương trình lượng giác \(\cos x = a\) có một nghiệm là \(x = \frac{\pi }{2}\).

d) Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với công sai \(d = b\) và \({u_1} = a\), thì \({u_3} = \frac{3}{2}\).

Cho hình vuông \(ABCD\) có độ dài bằng 1 . Nối các trung điểm của bốn cạnh hình vuông \(ABCD\), ta được hình vuông thứ hai. Tiếp tục nối các trung điểm của bốn cạnh hình vuông thứ hai, ta được hình vuông thứ ba. Tiếp tục như thế ta nhận được một dãy các hình vuông. Tìm tổng chu vi của dãy các hình vuông đó (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).