Để chứng minh tứ giác \(ABCD\) là hình vuông, dấu hiệu nào sau đây là sai?

Đáp án:      a) Đúng.    b) Sai.        c) Sai.        d) Đúng.

⦁ Tứ giác \(BMND\) có: \[MN\parallel BD{\rm{ }}\left( {MN\parallel BC} \right)\]; \[MN = BD\] (gt).

Do đó, tứ giác \(BMND\)là hình bình hành. Do đó ý a) là đúng.

⦁ Vì \(\Delta {\rm{ }}ABH\) vuông tại \(H\,\,\left( {AH \bot BC} \right)\) có \(HM\) là trung tuyến nên \(HM = \frac{1}{2}AB\).

Mà \(MA = \frac{1}{2}AB\) suy ra \(MA = HM\).

Vậy \(\Delta {\rm{ }}AMH\) cân tại \[M\].  Do đó ý b) sai.

⦁ Tứ giác \(DHMN\) có \[MN\parallel DH{\rm{ }}\left( {MN\parallel BC} \right)\] nên tứ giác \(DHMN\) là hình thang.                        \(\left( 1 \right)\)

Ta có \(AH \bot BC\); \[MN\parallel BC\] nên \(AH \bot MN\).

Vì \(\Delta {\rm{ }}AMH\) cân tại \[M\] có \(AH \bot MN\) nên \(MN\) là phân giác của \(\Delta {\rm{ }}AMH\).

Do đó \(\widehat {AMN} = \widehat {HMN}.\) Do đó ý c) sai.

⦁ Tứ giác \(BMND\)là hình bình hành nên \[ND\parallel MB\].

Do đó \(\widehat {AMN} = \widehat {DNM}\)     (so le trong) nên \(\widehat {HMN} = \widehat {DNM}\).   \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra tứ giác \(DHMN\) là hình thang cân. Do đó ý d) đúng.

Đáp án đúng là: D

Ta có \[\left( {4{x^{10}}y - x{y^7} + {x^5}{y^4}} \right):2{x^n}{y^n}\]

\[ = 4{x^{10}}y:2{x^n}{y^n} - x{y^7}:2{x^n}{y^n} + {x^5}{y^4}:2{x^n}{y^n}\].

Để phép chia \(\left( {4{x^{10}}y - x{y^7} + {x^5}{y^4}} \right):2{x^n}{y^n}\) là phép chia hết thì \(n \le 1\) và \(n\) là số tự nhiên.

Do đó \(n \in \left\{ {0\,;\,\,1} \right\}\).