Trong hộp kín có 6 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh, các viên bi có cùng kích thước, khối lượng và hình dạng như nhau, chỉ khác màu sắc. Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ trong hộp. Sau đó, thêm mỗi hộp một số viên bi màu đỏ, màu xanh sao cho xác suất chọn được viên bi mỗi màu không đổi. Hỏi cần thêm ít nhất bao nhiêu viên bi mỗi màu?

1. Vì \[Q\] là trung điểm \[EC,{\rm{ }}P\] là trung điểm của \[DC\] nên \[PQ\] là đường trung bình của tam giác \[CDE\]

Khi đó \(QP = \frac{1}{2}DE\).

Do đó \(DE = 2QP = 2 \cdot 1,5 = 3\,\,{\rm{(m)}}\).

Vậy chiều dài mái \[DE\] bằng \[3\,\,{\rm{m}}.\]

2. a) Xét \[\Delta FHB\] và \[\Delta EHC\] có: \[\widehat {FHB} = \widehat {EHC}\]; \(\widehat {HFB} = \widehat {HEC}\;\left( { = 90^\circ } \right)\) Do đó . b) Xét \[\Delta AEB\] và \[\Delta AFC\] có: \(\widehat {EAB} = \widehat {FAC}\;\,\left( {\widehat A\;\,{\rm{chung}}} \right)\); \(\widehat {AEB} = \widehat {AFC}\;\left( { = 90^\circ } \right)\) Do đó Suy ra \(\frac{{AE}}{{AF}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) hay \(AF \cdot AB = AE \cdot AC\) (đpcm)

c) • Xét \[\Delta ABC\] có hai đường cao \[BE,{\rm{ }}CF\] và cắt nhau tại \[H\] nên suy ra \[H\] là trực tâm của tam giác \[ABC\] nên \[AH \bot BC\].            (1)

• Xét \[\Delta BEM\] vuông tại \[E\] có \[I\] là trung điểm của \[BM\] nên \(IE = BI = IM = \frac{{BM}}{2}\).

• Xét \[\Delta IEM\] có \[IE = IM\] (cmt) nên tam giác \[IEM\] cân tại \[I\].

Suy ra \(\widehat {IEM} = \widehat {IME}\).          (2)

• Xét \[\Delta ABC\] có \[FE{\rm{ // }}BC\] suy ra \(\widehat {AEF} = \widehat {AMB}\) (hai góc đồng vị).       (3)

• Ta có \[AF \cdot AB = AE \cdot AC\] suy ra \(\frac{{AF}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AB}}\).

• Xét \[\Delta ABF\] và \[\Delta ABC\] có:

\[\widehat {EAF} = \widehat {BAC}\,\;\left( {\widehat A\;\,{\rm{chung}}} \right)\]; \[\frac{{AF}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AB}}\;\,\left( {{\rm{cmt}}} \right)\]

Do đó .

Suy ra \(\widehat {AEF} = \widehat {ABC}\) (hai góc tương ứng).            (4)

Từ (2), (3), (4) suy ra \(\widehat {CED} = \widehat {ABC}\).

• Xét \[\Delta CED\] và \[\Delta CBA\] có:

\(\widehat {ECD} = \widehat {BCA}\,\;\left( {\widehat C\;\,{\rm{chung}}} \right)\); \(\widehat {CED} = \widehat {ABC}\;\,\left( {{\rm{cmt}}} \right)\)

Do đó .

Suy ra \(\frac{{CE}}{{CB}} = \frac{{CD}}{{CA}}\) hay \(\frac{{CE}}{{CD}} = \frac{{CB}}{{CA}}\).

• Xét \[\Delta CEB\] và \[\Delta CDA\] có:

\(\frac{{CE}}{{CD}} = \frac{{CB}}{{CA}}\;\,\left( {{\rm{cmt}}} \right)\); \(\widehat {ECB} = \widehat {DCA}\,\;\left( {\widehat C\;\,{\rm{chung}}} \right)\)

Do đó .

Suy ra \(\widehat {CDA} = \widehat {CEB}\) (hai góc tương ứng).

Nên \(\widehat {CDA} = 90^\circ \), do đó \(AD \bot BC\).           (5)

Từ (1) và (5) suy ra ba điểm \[A,{\rm{ }}H,{\rm{ }}D\] thẳng hàng (đpcm).

1. a) Thị trường Thái Lan cung cấp lượng tinh bột sắn cho Đài Loan trong 9 tháng năm 2022 là nhiều nhất. Thị trường Trung Quốc cung cấp lượng tinh bột sắn cho Đài Loan trong 9 tháng năm 2022 là ít nhất.

b) Tổng lượng tinh bột sắn mà các thị trường cung cấp cho Đài Loan trong 9 tháng năm 2022 là:

\(218\,\,155 + 24859 + 3\,\,447 + 2\,\,983 + 483 = 249\,\,927\) (tấn)

Thị trường Việt Nam cung cấp lượng tinh bột sắn cho Đài Loan trong 9 tháng năm 2022 chiếm số phần trăm so tổng lượng tinh bột sắn mà các thị trường cung cấp cho Đài Loan trong 9 tháng năm 2022 là:

\(\frac{{24\,\,859}}{{249\,\,927}} \cdot 100\% = 9,9\% \).\[2\,\,983\]

2. a) Xác suất thực nghiệm của biến cố “Mặt xuất hiện của xúc xắc là số 4” là \(\frac{{12}}{{80}} = \frac{3}{{20}}.\)

b) Số lần xúc xắc xuất hiện số lẻ là: \(80 - 13 - 12 - 14 = 41\) (lần).

Xác suất thực nghiệm của biến cố “Mặt xuất hiện của xúc xắc là số lẻ” là \(\frac{{41}}{{80}}.\)

c) Trong các số chấm từ 1 chấm đến 6 chấm, thì có 3 mặt có số chấm là số lẻ.

Do đó xác suất của biến cố “Mặt xuất hiện của xúc xắc là số lẻ” là \(\frac{3}{6} = \frac{1}{2}.\)

Vậy khi số lần gieo ngày càng lớn thì xác suất thực nghiệm của biến cố “Mặt xuất hiện của xúc xắc là số lẻ” càng gần với \(\frac{1}{2}.\)