1. Giải các phương trình sau:

a) \[7x - 10 = 4x + 11\];                                         

b) \[x{\left( {x + 3} \right)^2} - 3x = {\left( {x + 2} \right)^3} + 1\].

2. Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình bậc nhất một ẩn:

Tại điểm tiêm phòng Covid-19 trường A, một bàn tiêm dự định tiêm một số mũi tiêm vaccine phòng Covid-19 cho người dân trong 20 ngày. Do yêu cầu cấp bách của việc phòng bệnh, bàn tiêm đã tăng năng suất thêm 20% nên sau 18 ngày không những đã tiêm xong số mũi tiêm dự định mà còn tiêm thêm được 24 mũi tiêm nữa. Tính số mũi tiêm phòng Covid-19 mà một bàn tiêm dự định tiêm.

Gọi \(x,\,\,y\) (viên) lần lượt là số viên bi đỏ và xanh cần thêm \(\left( {x,\,\,y \in \mathbb{N}*} \right)\).

Tổng số viên bi trong hộp ban đầu là: \(6 + 3 = 9\) (viên bi).

Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi trong hộp nên có 9 kết quả có thể xảy ra.

Số kết quả thuận lợi để lấy được viên bi đỏ ban đầu là 6.

Khi đó, xác suất lấy được viên bi màu đỏ là \(\frac{6}{9} = \frac{2}{3}.\)

Số kết quả thuận lợi để lấy được viên bi xanh ban đầu là 3.

Khi đó, xác suất lấy được viên bi màu xanh là \(\frac{3}{9} = \frac{1}{3}.\)

Sau khi số bi tăng thêm, trong hộp có tất cả \(\left( {9 + x + y} \right)\) viên bi, trong đó có \(\left( {6 + x} \right)\) viên bi đỏ và \(\left( {3 + y} \right)\) viên bi xanh.

Do đó xác suất chọn được một viên bi mỗi màu không đổi nên ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{6 + x}}{{9 + x + y}} = \frac{2}{3}\\\frac{{3 + y}}{{9 + x + y}} = \frac{1}{3}\end{array} \right.\), suy ra \(6 + x = 2\left( {3 + y} \right)\) nên \(x = 2y.\)

Do \(x,\,\,y \in \mathbb{N}*\) và số bi cần thêm vào là ít nhất nên \(y = 1\) và \(x = 2.\)

Vậy cần phải thêm ít nhất 2 viên bi màu đỏ, 1 viên bi xanh.

1. Vì \[Q\] là trung điểm \[EC,{\rm{ }}P\] là trung điểm của \[DC\] nên \[PQ\] là đường trung bình của tam giác \[CDE\]

Khi đó \(QP = \frac{1}{2}DE\).

Do đó \(DE = 2QP = 2 \cdot 1,5 = 3\,\,{\rm{(m)}}\).

Vậy chiều dài mái \[DE\] bằng \[3\,\,{\rm{m}}.\]

2. a) Xét \[\Delta FHB\] và \[\Delta EHC\] có: \[\widehat {FHB} = \widehat {EHC}\]; \(\widehat {HFB} = \widehat {HEC}\;\left( { = 90^\circ } \right)\) Do đó . b) Xét \[\Delta AEB\] và \[\Delta AFC\] có: \(\widehat {EAB} = \widehat {FAC}\;\,\left( {\widehat A\;\,{\rm{chung}}} \right)\); \(\widehat {AEB} = \widehat {AFC}\;\left( { = 90^\circ } \right)\) Do đó Suy ra \(\frac{{AE}}{{AF}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) hay \(AF \cdot AB = AE \cdot AC\) (đpcm)

c) • Xét \[\Delta ABC\] có hai đường cao \[BE,{\rm{ }}CF\] và cắt nhau tại \[H\] nên suy ra \[H\] là trực tâm của tam giác \[ABC\] nên \[AH \bot BC\].            (1)

• Xét \[\Delta BEM\] vuông tại \[E\] có \[I\] là trung điểm của \[BM\] nên \(IE = BI = IM = \frac{{BM}}{2}\).

• Xét \[\Delta IEM\] có \[IE = IM\] (cmt) nên tam giác \[IEM\] cân tại \[I\].

Suy ra \(\widehat {IEM} = \widehat {IME}\).          (2)

• Xét \[\Delta ABC\] có \[FE{\rm{ // }}BC\] suy ra \(\widehat {AEF} = \widehat {AMB}\) (hai góc đồng vị).       (3)

• Ta có \[AF \cdot AB = AE \cdot AC\] suy ra \(\frac{{AF}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AB}}\).

• Xét \[\Delta ABF\] và \[\Delta ABC\] có:

\[\widehat {EAF} = \widehat {BAC}\,\;\left( {\widehat A\;\,{\rm{chung}}} \right)\]; \[\frac{{AF}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AB}}\;\,\left( {{\rm{cmt}}} \right)\]

Do đó .

Suy ra \(\widehat {AEF} = \widehat {ABC}\) (hai góc tương ứng).            (4)

Từ (2), (3), (4) suy ra \(\widehat {CED} = \widehat {ABC}\).

• Xét \[\Delta CED\] và \[\Delta CBA\] có:

\(\widehat {ECD} = \widehat {BCA}\,\;\left( {\widehat C\;\,{\rm{chung}}} \right)\); \(\widehat {CED} = \widehat {ABC}\;\,\left( {{\rm{cmt}}} \right)\)

Do đó .

Suy ra \(\frac{{CE}}{{CB}} = \frac{{CD}}{{CA}}\) hay \(\frac{{CE}}{{CD}} = \frac{{CB}}{{CA}}\).

• Xét \[\Delta CEB\] và \[\Delta CDA\] có:

\(\frac{{CE}}{{CD}} = \frac{{CB}}{{CA}}\;\,\left( {{\rm{cmt}}} \right)\); \(\widehat {ECB} = \widehat {DCA}\,\;\left( {\widehat C\;\,{\rm{chung}}} \right)\)

Do đó .

Suy ra \(\widehat {CDA} = \widehat {CEB}\) (hai góc tương ứng).

Nên \(\widehat {CDA} = 90^\circ \), do đó \(AD \bot BC\).           (5)

Từ (1) và (5) suy ra ba điểm \[A,{\rm{ }}H,{\rm{ }}D\] thẳng hàng (đpcm).